Diferansiyel Denklem Sistemleri

Çoklu denklemlerin dinamik yapısını anlamak

x' = Ax + f(t)

Diferansiyel Denklem Sistemleri Nedir?

Diferansiyel denklem sistemleri, birden fazla bilinmeyen fonksiyon ve bunların türevlerini içeren denklem gruplarıdır. Gerçek hayatta karşılaşılan birçok problem tek bir denklemle ifade edilemez; sistemler halinde modellenmelidir.

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = f_1(t, x, y) \\ \frac{dy}{dt} = f_2(t, x, y) \end{cases}$$

Bu tip sistemler fiziksel süreçlerde sıkça karşımıza çıkar: birbirine bağlı sarkaçlar, av-avcı modelleri, elektrik devreleri, kimyasal reaksiyonlar ve daha birçok alanda kullanılır.

Uygulama Alanları:
  • • Mekanik: Çoklu kütle-yay sistemleri
  • • Elektrik: RLC devre ağları
  • • Biyoloji: Lotka-Volterra av-avcı modeli
  • • Kimya: Reaksiyon kinetikleri
  • • Ekonomi: Dinamik denge modelleri
Neden Sistem?
Tek bir diferansiyel denklem genellikle izole bir fenomeni tanımlar. Ancak gerçek dünya problemlerinde değişkenler birbirine bağlıdır. Sistemler, bu karşılıklı etkileşimleri modellemek için gereklidir.

Normal Forma İndirgeme

Diferansiyel denklem sistemlerini çözmek için önce normal forma indirgemek gerekir. Normal form, sistemin en sade ve standart halidir.

Birinci Mertebe Normal Form:

$$\begin{cases} x_1' = f_1(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ x_2' = f_2(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ \vdots \\ x_n' = f_n(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{cases}$$

Yüksek mertebeli tek bir denklem, bir birinci mertebe sistem olarak yeniden yazılabilir. Bu yaklaşım sayısal yöntemler ve teorik analiz için büyük kolaylık sağlar.

Dönüşüm Örneği
Verilen: y'' + 3y' + 2y = 0

Dönüşüm:
x₁ = y, x₂ = y'

Sistem:
x₁' = x₂
x₂' = -2x₁ - 3x₂
Pratik İpucu: Normal forma indirgemek için her türevi yeni bir değişken olarak tanımlayın. n. mertebe bir denklem, n tane birinci mertebe denkleme dönüşür.
Normal Formun Avantajları:
  • • Sistemlerin standart teorisi uygulanabilir
  • • Nümerik çözüm yöntemleri doğrudan kullanılır
  • • Faz düzlemi analizi yapılabilir
  • • Matris notasyonu kullanılabilir

Normal Lineer Sistemler ve Vektörel Form

Lineer diferansiyel denklem sistemleri, matris ve vektör notasyonu ile kompakt bir şekilde ifade edilebilir. Bu yaklaşım hem teorik analizi hem de sayısal çözümü kolaylaştırır.

Vektörel Form:

$$\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$$

Burada:

$$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x}' = \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{pmatrix}$$
$$A(t) = \begin{pmatrix} a_{11}(t) & a_{12}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ a_{21}(t) & a_{22}(t) & \cdots & a_{2n}(t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & a_{n2}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{pmatrix}$$
A(t): Katsayı matrisi (nxn)
x: Bilinmeyen fonksiyonlar vektörü (nx1)
f(t): Homojen olmayan terim vektörü (nx1)
2×2 Sistem Örneği
Sistem:
x' = 2x + y
y' = 3x + 4y

Vektörel Form:
x' = Ax, where A = [[2, 1], [3, 4]]
Önemli: Vektörel notasyon sadece gösterim kolaylığı sağlamaz, aynı zamanda lineer cebir teorisinin tüm gücünü kullanmamıza izin verir. Özdeğerler, özvektörler ve matris üslü gibi kavramlar bu formda anlam kazanır.

Diferansiyel Operatör

Diferansiyel operatör, türev alma işlemini bir operatör olarak ele alır. D operatörü ile gösterilir ve D = d/dt anlamına gelir.

$D = \frac{d}{dt}, \quad D^2 = \frac{d^2}{dt^2}, \quad D^n = \frac{d^n}{dt^n}$

Operatör Notasyonu ile Sistem:

$(D - A)\mathbf{x} = \mathbf{f}(t)$

Bu notasyon, cebirsel manipülasyonları kolaylaştırır ve sistemin yapısını daha net gösterir.

Operatör Özellikleri
Lineerlik: D(af + bg) = aD(f) + bD(g)
Çarpım Kuralı: D(fg) = f'g + fg'
Zincir Kuralı: D(f(g)) = f'(g)g'
Üstel Özellik: D(e^(at)) = ae^(at)
Pratik Kullanım: Diferansiyel operatör notasyonu, karmaşık sistemleri sadeleştirmek ve karakteristik denklemleri bulmak için son derece kullanışlıdır.
Operatör Cebrinde Temel İşlemler:
  • • (D + a)(D + b)f = D²f + (a+b)Df + abf
  • • Operatörler genellikle değişmezdir: (D+a)(D+b) = (D+b)(D+a)
  • • Sabit katsayılı operatörler polinom gibi işlem görür

Homojen Normal Sistemler

Homojen sistemler, sağ tarafta sıfır vektörü bulunan sistemlerdir:

$\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$

Bu sistemlerin çözümü, temel matris kavramına dayanır. n boyutlu bir sistem için n tane lineer bağımsız çözüm bulunur.

Süperpozisyon İlkesi:

Eğer x₁(t) ve x₂(t) homojen sistemin çözümleri ise, o zaman:

x(t) = c₁x₁(t) + c₂x₂(t)

de bir çözümdür. Burada c₁ ve c₂ keyfi sabitlerdir.
$\text{Genel Çözüm: } \mathbf{x}(t) = c_1\mathbf{x}_1(t) + c_2\mathbf{x}_2(t) + \cdots + c_n\mathbf{x}_n(t)$
Temel Çözümler
Temel çözüm kümesi, sistemin tüm çözümlerini lineer kombinasyon olarak ifade edebilen minimal çözüm kümesidir. n boyutlu sistem için tam olarak n tane temel çözüm gereklidir.
Wronskian Determinantı:
W(t) = det[x₁(t), x₂(t), ..., xₙ(t)]

W(t) ≠ 0 ise çözümler lineer bağımsızdır

Homojen Olmayan Normal Sistemler

Homojen olmayan sistemler, sağ tarafta sıfırdan farklı bir terim içerir:

$\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$

Temel Matris Kavramı:

Temel matris Φ(t), kolonları homojen sistemin temel çözümleri olan matristir:

$\Phi(t) = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \mathbf{x}_1(t) & \mathbf{x}_2(t) & \cdots & \mathbf{x}_n(t) \\ | & | & & | \end{pmatrix}$
$\Phi'(t) = A(t)\Phi(t)$

Genel Çözüm Yapısı:

Homojen olmayan sistemin genel çözümü:

x(t) = x_h(t) + x_p(t)

• x_h(t): Homojen sistemin genel çözümü
• x_p(t): Homojen olmayan sistemin özel çözümü
Parametrelerin Değişimi Formülü:
x_p(t) = Φ(t) ∫ Φ⁻¹(t)f(t) dt
Çözüm Stratejisi
Homojen olmayan sistemi çözmek için:
1. Önce homojen sistemi çözün (x_h)
2. Temel matrisi oluşturun (Φ)
3. Özel çözümü bulun (x_p)
4. Genel çözümü yazın: x = x_h + x_p

Sabit Katsayılı Homojen Normal Sistemler

En önemli özel durum, katsayı matrisinin sabittir:

$\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$

Burada A sabit bir matristir. Bu durumda çözüm üstel fonksiyonlar cinsinden aranır:

$\mathbf{x}(t) = e^{\lambda t}\mathbf{v}$

Bu deneme çözümünü sisteme yerleştirdiğimizde özdeğer problemi elde ederiz:

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
Karakteristik Denklem:

det(A - λI) = 0

Bu denklemin kökleri özdeğerlerdir (λ₁, λ₂, ..., λₙ)
Temel Fikir: Sabit katsayılı sistemlerin çözümü, matrisin özdeğerlerine ve özvektörlerine dayanır. Bu, lineer cebir ile diferansiyel denklemlerin buluşma noktasıdır.
Faz Düzlemi: Sistem çözümlerinin geometrik gösterimi
Özdeğerler sistemin dinamik davranışını belirler

Özdeğer ve Özvektör Yöntemi

Sabit katsayılı sistemlerin çözümü için en güçlü yöntem özdeğer-özvektör yaklaşımıdır. Özdeğerlerin yapısına göre farklı çözüm formları elde edilir.

Durum 1: Reel ve Farklı Özdeğerler

A matrisinin n tane reel ve farklı özdeğeri (λ₁, λ₂, ..., λₙ) ve karşılık gelen özvektörleri (v₁, v₂, ..., vₙ) varsa:

$\mathbf{x}(t) = c_1e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 + c_2e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2 + \cdots + c_ne^{\lambda_n t}\mathbf{v}_n$
2×2 Sistem Örneği
A = [[3, -2], [1, 0]]

Karakteristik denklem: λ² - 3λ + 2 = 0
Özdeğerler: λ₁ = 2, λ₂ = 1
Özvektörler: v₁ = [2, 1]ᵀ, v₂ = [1, 1]ᵀ

Genel Çözüm:
x(t) = c₁e^(2t)[2, 1]ᵀ + c₂e^t[1, 1]ᵀ

Durum 2: Çakışık (Tekrarlı) Özdeğerler

Bir özdeğer k kat tekrarlıysa ve k tane lineer bağımsız özvektör bulunamıyorsa, genelleştirilmiş özvektörler kullanılır.

$(A - \lambda I)\mathbf{w} = \mathbf{v}$
Çözüm formu (çift özdeğer için):
x₁(t) = e^(λt)v
x₂(t) = e^(λt)(tv + w)

Durum 3: Kompleks Özdeğerler

Reel matrisler için kompleks özdeğerler çift halinde gelir: λ = α ± βi

$\lambda = \alpha \pm \beta i, \quad \mathbf{v} = \mathbf{u} \pm i\mathbf{w}$
$\mathbf{x}_1(t) = e^{\alpha t}(\mathbf{u}\cos(\beta t) - \mathbf{w}\sin(\beta t))$
$\mathbf{x}_2(t) = e^{\alpha t}(\mathbf{u}\sin(\beta t) + \mathbf{w}\cos(\beta t))$
Dikkat: Kompleks özdeğerler salınımlı çözümlere yol açar. α < 0 ise sönümlü, α > 0 ise büyüyen salınımlar oluşur. α = 0 ise periyodik çözüm elde edilir.
Dinamik Davranış ve Özdeğerler:
  • • Tüm özdeğerler negatif reel → Kararlı düğüm noktası
  • • Tüm özdeğerler pozitif reel → Kararsız düğüm noktası
  • • Karışık işaretli özdeğerler → Eyer noktası
  • • Saf sanal özdeğerler → Merkez (periyodik hareket)
  • • Kompleks (α ≠ 0) → Sarmal (spiral)

Belirsiz Katsayılar Yöntemi

Homojen olmayan sabit katsayılı sistemler için özel çözüm bulmakta belirsiz katsayılar yöntemi kullanılır:

$\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$

f(t)'nin formuna göre x_p deneme çözümü seçilir:

Deneme Çözümleri:
  • • f(t) = sabit vektör → x_p = sabit vektör
  • • f(t) = polinom → x_p = aynı derecede polinom
  • • f(t) = e^(at) → x_p = Ae^(at)
  • • f(t) = sin(ωt), cos(ωt) → x_p = A sin(ωt) + B cos(ωt)
  • • f(t) = e^(at)sin(ωt) → x_p = e^(at)(A sin(ωt) + B cos(ωt))
Örnek Uygulama
Sistem: x' = [[1, 0], [0, 2]]x + [3, 0]ᵀ

Deneme: x_p = [a, b]ᵀ (sabit vektör)
Yerine koyma: 0 = [[1, 0], [0, 2]][a, b]ᵀ + [3, 0]ᵀ
Çözüm: a = -3, b = 0
x_p = [-3, 0]ᵀ
Rezonans Durumu: Eğer deneme çözümü homojen sistemin çözümüyle aynı forma sahipse, denemeyi t ile çarparak tekrarlayın.
Strateji: Belirsiz katsayılar yöntemi hızlı ve pratiktir ancak sadece özel f(t) formları için çalışır. Genel durumda parametrelerin değişimi kullanılmalıdır.

Parametrelerin Değişimi Yöntemi

Parametrelerin değişimi (varyasyon of parameters), homojen olmayan sistemler için en genel çözüm yöntemidir. f(t)'nin herhangi bir fonksiyon olduğu durumlarda kullanılır.

Yöntemin Mantığı:

Homojen sistemin genel çözümü biliniyorsa:

$\mathbf{x}_h(t) = c_1\mathbf{x}_1(t) + c_2\mathbf{x}_2(t) + \cdots + c_n\mathbf{x}_n(t)$

Özel çözüm için sabitleri t'nin fonksiyonları olarak ele alırız:

$\mathbf{x}_p(t) = u_1(t)\mathbf{x}_1(t) + u_2(t)\mathbf{x}_2(t) + \cdots + u_n(t)\mathbf{x}_n(t)$

Formül:

$\mathbf{x}_p(t) = \Phi(t)\int \Phi^{-1}(t)\mathbf{f}(t)\,dt$

Burada Φ(t) temel matristir.

Alternatif Form (başlangıç değeri problemi için):
x_p(t) = Φ(t)∫[t₀ to t] Φ⁻¹(s)f(s) ds
Adım Adım Çözüm
Parametrelerin Değişimi Adımları:
1. Homojen sistemi çözün → x₁(t), x₂(t), ...
2. Temel matrisi oluşturun → Φ(t)
3. Ters matrisi bulun → Φ⁻¹(t)
4. Φ⁻¹(t)f(t)'yi hesaplayın
5. İntegral alın
6. Φ(t) ile çarpın → x_p(t)
Avantajları:
• f(t)'nin formu serbest (herhangi bir fonksiyon olabilir)
• Sistematik ve mekanik bir yöntem
• Her zaman çalışır (temel matris biliniyorsa)

Dezavantajları:
• Matris tersini bulmak gerekir
• İntegraller karmaşık olabilir
• Hesaplama yoğun

Matris Üslü Üstel Fonksiyon

Matris üslü (matrix exponential), diferansiyel denklem sistemlerinin çözümünde merkezi bir rol oynar:

$e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \cdots$

Bu seri her zaman yakınsaktır ve x' = Ax sisteminin çözümü şu şekilde ifade edilir:

$\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0$

Matris Üslü Hesaplama Yöntemleri:

1. Özdeğer-Özvektör Yöntemi:
A köşegenleştirilebiliyorsa (A = PDP⁻¹):
e^(At) = Pe^(Dt)P⁻¹

2. Cayley-Hamilton Teoremi:
Matris kendi karakteristik denklemini sağlar

3. Jordan Formu:
Genel durum için kullanılır
2×2 Köşegen Matris Örneği
A = [[λ₁, 0], [0, λ₂]]

e^(At) = [[e^(λ₁t), 0], [0, e^(λ₂t)]]

Köşegen matrislerde hesaplama çok basittir!
$\text{Özellikler: } \frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}, \quad e^{A \cdot 0} = I$
Kullanım: Matris üslü, başlangıç değeri problemlerini doğrudan çözmek için kullanılır. e^(At) hesaplandıktan sonra, x(t) = e^(At)x₀ formülü çözümü verir.
Dikkat: Genel olarak e^(A+B) ≠ e^A · e^B. Bu eşitlik sadece AB = BA olduğunda geçerlidir.

Yoketme Yöntemi

Yoketme yöntemi (elimination method), diferansiyel denklem sistemini tek bir yüksek mertebeli denkleme indirgeyerek çözüm bulur. Özellikle 2×2 sistemler için pratiktir.

Yöntemin Prensibi:

İki denklemli bir sistem ele alalım:

$\begin{cases} x' = a_{11}x + a_{12}y + f_1(t) \\ y' = a_{21}x + a_{22}y + f_2(t) \end{cases}$

Diferansiyel operatör kullanarak bir değişkeni elimine ederiz.

Yoketme Adımları
Sistemden y'yi yoketmek için:
1. İkinci denklemi diferansiyel operatör ile çarpın
2. Birinci denklemle toplayın
3. Sadece x içeren tek denklem elde edin
4. Bu denklemi çözün
5. x(t)'yi bulunca y(t)'yi orijinal denklemden bulun
Detaylı Örnek
Sistem:
x' = 2x - y
y' = 3x - 2y

Çözüm:
İkinci denklemi operatör formunda: (D + 2)y = 3x
Birinci denklem: Dx = 2x - y → y = 2x - Dx
Yerine koy: (D + 2)(2x - Dx) = 3x
Açılım: (D + 2)(2x) - (D + 2)(Dx) = 3x
2Dx + 4x - D²x - 2Dx = 3x
D²x - x = 0
Karakteristik denklem: r² - 1 = 0
x(t) = c₁e^t + c₂e^(-t)
Avantajlar:
• Sezgisel ve anlaşılması kolay
• Yüksek mertebe denklem teorisi kullanılır
• Küçük sistemler için hızlıdır

Dezavantajlar:
• Büyük sistemlerde karmaşıklaşır
• Tüm değişkenler için işlem tekrarlanmalı
• Matris yöntemleri kadar sistematik değil

Laplace Dönüşümü Yöntemi

Laplace dönüşümü, diferansiyel denklem sistemlerini cebirsel denklem sistemlerine dönüştürerek çözüm sağlar. Özellikle başlangıç değeri problemleri için çok etkilidir.

Laplace Dönüşümü:

$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$
$\mathcal{L}\{x'(t)\} = sX(s) - x(0)$

Sistem Çözümü:

x' = Ax + f(t) sisteminin Laplace dönüşümü:

$sX(s) - \mathbf{x}(0) = AX(s) + F(s)$
$(sI - A)X(s) = \mathbf{x}(0) + F(s)$
$X(s) = (sI - A)^{-1}[\mathbf{x}(0) + F(s)]$
Zaman domenine dönüş:
x(t) = L⁻¹{X(s)}
Laplace Yöntemi Adımları
Çözüm Algoritması:
1. Sistemin Laplace dönüşümünü alın
2. Başlangıç koşullarını uygulayın
3. Cebirsel denklemi çözün → X(s)
4. Kısmi kesirler yöntemi kullanın
5. Ters Laplace dönüşümü alın → x(t)
Önemli Laplace Dönüşümleri:
  • • L{1} = 1/s
  • • L{e^(at)} = 1/(s-a)
  • • L{sin(ωt)} = ω/(s² + ω²)
  • • L{cos(ωt)} = s/(s² + ω²)
  • • L{t^n} = n!/s^(n+1)
Laplace'ın Gücü: Başlangıç koşulları otomatik olarak işlenir ve sistemin transfer fonksiyonu doğrudan elde edilir. Mühendislik uygulamaları için idealdir.
Sınırlama: Laplace dönüşümü sadece başlangıç değeri problemleri için uygundur. Sınır değer problemlerinde kullanılamaz.

Faz Düzlemi ve Kararlılık Analizi

Diferansiyel denklem sistemlerinin geometrik analizi, faz düzlemi ve kararlılık teorisi ile yapılır. Bu yaklaşım, sistemin uzun vadeli davranışını anlamak için kritiktir.

Denge Noktaları:

x' = f(x, y), y' = g(x, y) sistemi için denge noktaları f(x, y) = 0 ve g(x, y) = 0 koşullarını sağlayan (x*, y*) noktalarıdır.

Denge Noktası Sınıflandırması (Lineer Sistemler için):
  • • Düğüm (Node): İki reel özdeğer, aynı işaret
  • • Eyer (Saddle): İki reel özdeğer, farklı işaret
  • • Spiral (Focus): Kompleks özdeğerler
  • • Merkez (Center): Saf sanal özdeğerler
$\text{Kararlılık Kriteri: } \text{Re}(\lambda_i) < 0 \text{ (tüm } i \text{ için)}$
Faz Portresi
Faz düzleminde çizilen yörüngeler, sistemin farklı başlangıç koşulları için davranışını görselleştirir. Oklarla gösterilen yönler, zamanın ilerlemesiyle hareketin yönünü belirtir.
Faz Portresi: Sistemin dinamik davranışı
Farklı denge noktası tipleri farklı faz portreleri oluşturur
Pratik Anlam: Kararlı sistemler zamanla dengeye yaklaşır (mühendislikte istenir). Kararsız sistemler saparak sonsuza gider (genellikle istenmeyen). Merkez tipi sistemler periyodiktir (salınımlar).

Gerçek Hayat Uygulamaları

Diferansiyel denklem sistemleri, birçok bilimsel ve mühendislik probleminin temelini oluşturur.

Lotka-Volterra Av-Avcı Modeli:

$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = ax - bxy \\ \frac{dy}{dt} = -cy + dxy \end{cases}$
x: Av popülasyonu
y: Avcı popülasyonu
a, b, c, d: Pozitif parametreler

Yaylı Kütle Sistemi:

$\begin{cases} m_1x_1'' = -k_1x_1 + k_2(x_2 - x_1) \\ m_2x_2'' = -k_2(x_2 - x_1) - k_3x_2 \end{cases}$
Biyolojik Sistemler
Nöron ağları, kalp ritmi, hormon düzenleme ve enzim kinetiği gibi biyolojik süreçler diferansiyel denklem sistemleri ile modellenir. Bu modeller, ilaç dozaj optimizasyonu ve hastalık teşhisinde kullanılır.

Elektrik Devre Ağı:

$\begin{cases} L_1\frac{di_1}{dt} + R_1i_1 + \frac{1}{C_1}\int i_1\,dt = V(t) \\ L_2\frac{di_2}{dt} + R_2i_2 + M\frac{di_1}{dt} = 0 \end{cases}$
Diğer Uygulama Alanları:
  • • Kimya: Çoklu reaksiyon kinetiği
  • • Ekonomi: Arz-talep dinamikleri
  • • Kontrol Mühendisliği: Robot kol kontrolü
  • • Astronomi: Çok cisim problemleri
  • • İklim: Atmosfer-okyanus etkileşimi

Özet ve İleri Çalışma

Diferansiyel denklem sistemleri, dinamik süreçleri modellemek için vazgeçilmez araçlardır. Bu sayfada öğrendiklerinizin özeti:

Temel Yöntemler:
  • ✓ Normal forma indirgeme
  • ✓ Vektörel ve matris notasyonu
  • ✓ Özdeğer-özvektör yöntemi
  • ✓ Temel matris ve parametrelerin değişimi
  • ✓ Belirsiz katsayılar
  • ✓ Yoketme yöntemi
  • ✓ Laplace dönüşümü
  • ✓ Faz düzlemi analizi
Sonraki Adımlar
İleri seviye konular:
• Lineer olmayan sistemler ve kaos teorisi
• Bifürkasyon analizi
• Pertürbasyon yöntemleri
• Nümerik yöntemler (Runge-Kutta, vb.)
• Optimal kontrol teorisi
• Kısmi diferansiyel denklem sistemleri
Öğrenme Stratejisi:
• Her yöntemi örneklerle pratik yapın
• Fiziksel yorumlamaya odaklanın
• Bilgisayar yazılımları kullanın (MATLAB, Python)
• Faz düzlemleri çizerek görselleştirin
• Gerçek problemler modelleyin

x' = Ax + f(t)

Sistemlerin dinamiğini anlamak, geleceği modellemektir!