Geometrinin Vektörel Temelleri

Modern geometrinin cebirsel yapısı: Vektörler, uzaylar ve koordinat sistemleri

v⃗ = (x, y, z) = x·î + y·ĵ + z·k̂

Skalar, Vektör ve Aralarındaki İlişkiler

Skalar ve vektör, fizikte ve matematikte kullanılan iki temel kavramdır. Skalarlar sadece büyüklüğe sahipken, vektörler hem büyüklük hem de yön bilgisi taşır.

Skalar Nicelikler:

Skalar Tanımı: Sadece sayısal büyüklükle tanımlanan fiziksel veya matematiksel niceliklerdir.

• Kütle: m = 5 kg
• Sıcaklık: T = 25°C
• Zaman: t = 10 s
• Enerji: E = 100 J
• Hacim: V = 50 m³

Vektör Nicelikler:

v⃗ = |v⃗|·û

Vektör = Büyüklük × Birim yön vektörü

Vektör Tanımı: Hem büyüklük hem de yön bilgisi içeren matematiksel nesnelerdir.

• Yer değiştirme: s⃗
• Hız: v⃗ = ds⃗/dt
• İvme: a⃗ = dv⃗/dt
• Kuvvet: F⃗
• Momentum: p⃗ = m·v⃗

Vektör Gösterimi

Geometrik: Ok ile gösterilir (yön ve uzunluk)
Cebirsel: v⃗, v, v (kalın)
Koordinat: v⃗ = (v₁, v₂, v₃) veya v⃗ = v₁·î + v₂·ĵ + v₃·k̂
Büyüklük: |v⃗| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

|v⃗| = √(v⃗ · v⃗) = √(v₁² + v₂² + v₃²)

Vektör büyüklüğü (norm)

💡 Önemli Fark:
• Skalarlar: Toplama için sadece aritmetik kurallar
• Vektörler: Paralelkenar kuralı veya bileşen toplama
• Sıfır vektör: 0⃗ = (0,0,0), yönü belirsiz
• Birim vektör: |û| = 1

Eşitlik: İki vektör, aynı büyüklük ve yöne sahipse eşittir: v⃗ = w

λᵢ = Sᵢ/S (i = 1,2,3)

Sᵢ: P'nin karşı kenara göre alt üçgen alanı, S: toplam alan

P noktasının konumu:
• λ₁, λ₂, λ₃ > 0: P üçgen içinde
• Biri 0, diğerleri > 0: P kenar üzerinde
• Biri < 0: P üçgen dışında
• λ₁ = λ₂ = λ₃ = 1/3: P ağırlık merkezi

Özel Noktalar (2D)

Ağırlık merkezi (G): (1/3, 1/3, 1/3)
A köşesi: (1, 0, 0)
BC kenarı orta noktası: (0, 1/2, 1/2)
Çevrel merkez: sin(2A) : sin(2B) : sin(2C)
İç merkez: a : b : c (kenar uzunlukları)

3-Boyutta Barisentrik Koordinatlar:

P = λ₁A + λ₂B + λ₃C + λ₄D, Σλᵢ = 1

P noktası ABCD tetrahedronu içinde veya uzayında

3D Barisentrik Koordinatlar (λ₁, λ₂, λ₃, λ₄):
• λ₁ = Hacim(PBCD)/Hacim(ABCD)
• λ₂ = Hacim(APCD)/Hacim(ABCD)
• λ₃ = Hacim(ABPD)/Hacim(ABCD)
• λ₄ = Hacim(ABCP)/Hacim(ABCD)
• Toplam: Σλᵢ = 1

Hacim Hesabı:
V = (1/6)|det[AB⃗, AC⃗, AD⃗]|
= (1/6)|u⃗ · (v⃗ × w⃗)| (karışık çarpım)

💡 Barisentrik Avantajları:
• Koordinat sisteminden bağımsız
• Doğrusal enterpolasyon için ideal
• Çarpışma testi için verimli
• Sonlu eleman analizinde kullanışlı
• Afin dönüşümler altında değişmez

Dikkat: Barisentrik koordinatlar homojen koordinatlardır (λ₁, λ₂, λ₃) ile (k·λ₁, k·λ₂, k·λ₃) aynı noktayı temsil eder (k ≠ 0). Genellikle normalize form (Σλᵢ = 1) kullanılır.

Barisentrik Koordinatlarla İlgili Teoremler

Barisentrik koordinatlar, klasik geometri teoremlerinin elegant kanıtlarını sağlar ve birçok geometrik özelliği doğal şekilde ifade eder.

Temel Teoremler:

Teorem 1 (Cevians'ın Kesişimi):
Üçgende AA', BB', CC' ceviansları (köşeden karşı kenara çizgiler) bir noktada kesişir ⟺
(AB'/B'C)·(BC'/C'A)·(CA'/A'B) = 1 (Ceva Teoremi)

Ceva Teoremi (Barisentrik):
Kesişim noktası P için:
P = αA + βB + γC (α + β + γ = 1)
A' = (0·A + βB + γC)/(β + γ) vb.

Teorem 2 (Menelaus Teoremi):
A', B', C' noktaları sırasıyla BC, CA, AB doğruları üzerinde ve doğrusal ise:
(BA'/A'C)·(CB'/B'A)·(AC'/C'B) = -1

Ağırlık Merkezi Teoremi

Üçgenin ağırlık merkezi G, kenarortayların kesişim noktasıdır.
Barisentrik: G = (1/3, 1/3, 1/3)
Kartezyen: G = (A + B + C)/3
Özellik: AG : GM_A = 2 : 1 (M_A, BC'nin orta noktası)

Teorem 3 (İç Merkez):
Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi I:
I = (a·A + b·B + c·C)/(a + b + c)
Barisentrik: (a : b : c) (kenar uzunlukları ile orantılı)

Teorem 4 (Dış Merkezler):
Dış merkezler için benzer formüller:
I_A = (-a·A + b·B + c·C)/(-a + b + c) vb.

Çevrel Merkez (O):
O = (sin(2A)·A + sin(2B)·B + sin(2C)·C)/Σsin(2A)
Barisentrik: (sin(2A) : sin(2B) : sin(2C))
Özellik: OA = OB = OC = R (çevrel yarıçap)

Uygulama Örnekleri:

Lineer Enterpolasyon

Üçgen içinde herhangi bir P noktasında fonksiyon değeri:
f(P) = λ₁f(A) + λ₂f(B) + λ₃f(C)
Sonlu elemanlar yönteminde temel formül

Renk Enterpolasyonu

Bilgisayar grafiğinde piksel rengi:
Color(P) = λ₁·C_A + λ₂·C_B + λ₃·C_C
C_A, C_B, C_C: köşelerdeki renkler (RGB)
Gouraud shading tekniği

Çarpışma Testi

P noktası üçgen içinde mi?
Kontrol: 0 ≤ λ₁, λ₂, λ₃ ≤ 1 ve λ₁ + λ₂ + λ₃ = 1
Oyun motorları ve fizik simülasyonlarında kullanılır

💡 Euler Doğrusu:
Çevrel merkez O, ağırlık merkezi G, ve diklik merkezi H doğrusaldır.
Barisentrik: G = (O + 2H)/3
OG : GH = 1 : 2

Dokuz Nokta Çemberi:
Kenarortay ayakları, yükseklik ayakları ve H ile köşeler arası orta noktalar aynı çember üzerindedir.
Merkez: N = (O + H)/2
Yarıçap: R/2 (R: çevrel yarıçap)

Euler Teoremi ve Harmonik Bölme

Euler teoremi ve harmonik bölme, projektif geometrinin temel kavramlarıdır ve birçok geometrik özelliğin anlaşılmasında kilit rol oynar.

Euler Doğrusu Teoremi:

Euler Teoremi: Herhangi bir üçgende, çevrel merkez (O), ağırlık merkezi (G) ve diklik merkezi (H) doğrusaldır (Euler doğrusu üzerindedir).

OG⃗ : GH⃗ = 1 : 2

G, OH'yi 1:2 oranında iç böler

OH⃗ = OA⃗ + OB⃗ + OC⃗

Diklik merkezinin vektörel ifadesi

Euler Doğrusu Üzerindeki Noktalar:
• O: Çevrel merkez (sin(2A) : sin(2B) : sin(2C))
• G: Ağırlık merkezi (1 : 1 : 1)
• N: Dokuz nokta çemberi merkezi (O ile H'nin orta noktası)
• H: Diklik merkezi (tan(A) : tan(B) : tan(C))

Dokuz Nokta Çemberi

Euler doğrusu üzerinde N noktası merkez olmak üzere:
• Yarıçap: r = R/2 (R: çevrel yarıçap)
• N = (O + H)/2 = (2G + H)/3
• Geçtiği 9 nokta: 3 kenarortay ayağı, 3 yükseklik ayağı, 3 orta nokta

Harmonik Bölme:

Harmonik Bölme Tanımı: A, B, C, D doğrusu üzerinde dört nokta harmonik dörtlü oluşturur ⟺
(AC/CB) = -(AD/DB) veya (A,B;C,D) = -1 (çift oran)

(A,B;C,D) = (AC/CB)/(AD/DB)

Çift oran (cross ratio) tanımı

Harmonik Özellikler:
• C, AB'yi iç bölüyor, D dış bölüyor ise:
• 1/AC + 1/AD = 2/AB (harmonik ortalama)
• C ve D, AB'ye göre harmonik eşleniktir
• M (AB'nin orta noktası) için: MC·MD = MA² = MB²

Harmonik Bölme Örneği

A(-1) ve B(1) için:
C, AB'yi 1:1 iç bölüyor → C(0)
D, AB'yi 1:1 dış bölüyor → D(∞)
Çift oran: (A,B;C,D) = -1 ✓

Harmonik Bölmenin Uygulamaları:

Apollonius Çemberi: AB doğru parçası için, PA/PB = k (sabit) koşulunu sağlayan P noktalarının geometrik yeri çemberdir (k ≠ 1 için).

Kutup ve Polar

Çember ve dış nokta P için:
P'den çizilen iki teğetin değme noktaları T₁, T₂'yi birleştiren doğru P'nin polarıdır.
Harmonik ilişki: (P, Q; T₁, T₂) = -1 (Q çember üzerinde)

Projektif Geometride Harmonik:
• Çift oran projektif dönüşümler altında değişmezdir
• Harmonik dörtlü: perspektivite ve projektif dönüşümlerde korunur
• Çizgiler demeti ve noktalar demeti arasında dualite

Dikkat: Harmonik bölmede işaretli uzunluklar kullanılır. Yön önemlidir!
AC ve CB aynı yönde ise pozitif, ters yönde ise negatif alınır.

💡 Tam Dörtgen ve Harmonik:
Tam dörtgende karşılıklı kenarların kesişim noktaları ve bir köşegen üzerindeki iki nokta harmonik dörtlü oluşturur.

Desargues ve Pascal Teoremleri

Desargues teoremi ve Pascal teoremi, projektif geometrinin en önemli klasik teoremleridir. Bu teoremler, geometrik şekiller arasındaki derin ilişkileri ortaya çıkarır.

Desargues Teoremi:

Desargues Teoremi: İki üçgen ABC ve A'B'C' perspektif merkeze (O noktası) sahipse, karşılıklı kenarların kesişim noktaları doğrusaldır (perspektif eksene sahiptir).

Perspektif Merkez:
AA', BB', CC' doğruları O noktasında kesişir

Perspektif Eksen:
P = BC ∩ B'C'
Q = CA ∩ C'A'
R = AB ∩ A'B'
P, Q, R doğrusaldır (Desargues doğrusu)

Perspektivite

Perspektif Merkez: İki şeklin köşelerini birleştiren doğrular tek noktada kesişir
Perspektif Eksen: Karşılıklı kenarların kesişim noktaları doğrusal
Desargues İlişkisi: Perspektif merkez ⟺ Perspektif eksen

Desargues Teoreminin Konversi:
Eğer karşılıklı kenarların kesişim noktaları doğrusal ise (perspektif eksen varsa), o zaman üçgenler perspektif merkeze sahiptir.

Pascal Teoremi:

Pascal Teoremi: Bir konik üzerindeki altı nokta A, B, C, D, E, F için, karşılıklı kenarların kesişim noktaları doğrusaldır.

P = AB ∩ DE, Q = BC ∩ EF, R = CD ∩ FA

P, Q, R noktaları Pascal doğrusu üzerindedir

Pascal Altıgeni:
Konik üzerinde ABCDEF altıgeni için:
• Karşılıklı kenarlar: AB ve DE, BC ve EF, CD ve FA
• Bu kenarların kesişim noktaları doğrusal
• Doğruya Pascal doğrusu (mystique line) denir

Özel Durumlar

Çember için: Pascal teoremi aynen geçerli
Dejenere konik: İki doğru çifti
Pappus Teoremi: Pascal teoreminin iki doğru için özel hali

Pappus Teoremi (Pascal'ın Özel Hali):

Pappus Teoremi: İki doğru d₁ ve d₂ üzerinde sırasıyla A, B, C ve A', B', C' noktaları için:
P = AB' ∩ A'B, Q = BC' ∩ B'C, R = CA' ∩ C'A
P, Q, R doğrusaldır (Pappus doğrusu)

Pappus Konfigürasyonu

İki doğru üzerinde üçer nokta:
d₁: A, B, C
d₂: A', B', C'
Çapraz birleşimler: AB'∩A'B, BC'∩B'C, CA'∩C'A doğrusal
Afin ve projektif geometride temel teorem

💡 Brianchon Teoremi:
Pascal teoreminin duali: Bir koniğe teğet altı doğru için, karşılıklı köşeleri birleştiren doğrular bir noktada (Brianchon noktası) kesişir.

Projektif Dualite:
• Nokta ⟷ Doğru
• Doğrusallık (collinearity) ⟷ Eşnoktasallık (concurrency)
• Pascal ⟷ Brianchon
• Desargues kendi dualıdır (self-dual)

Tamdörtgen ve Özellikleri

Tamdörtgen (complete quadrilateral), dört doğrunun (hiçbir üçü eşnoktasal değil) oluşturduğu figürdür. Altı köşesi, üç köşegeni ve harmonik özellikleriile projektif geometride önemli bir yapıdır.

Tamdörtgen Tanımı:

Tanım: Dört doğru d₁, d₂, d₃, d₄ (hiçbir üçü eşnoktasal değil) verildiğinde, bu doğruların ikişer ikişer kesişimiyle oluşan altı nokta tamdörtgenin köşelerini oluşturur.

Tamdörtgenin Elemanları:
• 4 kenar (doğru): d₁, d₂, d₃, d₄
• 6 köşe: Her iki doğrunun kesişimi
• 3 köşegen: Karşılıklı köşeleri birleştiren doğrular
• 3 köşegen noktası: Köşegenlerin kesişim noktaları

Tamdörtgen Yapısı

Köşeler: A =

Eşitlik: İki vektör, aynı büyüklük ve yöne sahipse eşittir: v⃗ = w⃗ ⟺ |v⃗| = |w⃗| ve yön(v⃗) = yön(w⃗)

Serbest ve Bağlı Vektörler

Serbest Vektör: Uzayda herhangi bir noktaya uygulanabilir (kuvvet vektörü)
Bağlı (Kayar) Vektör: Belirli bir doğru üzerinde tanımlı
Sabit Vektör: Belirli bir noktada tanımlı (konum vektörü)

Chasles Bağıntısı ve Eksen Koordinatları

Chasles bağıntısı, üç nokta arasındaki vektörel ilişkiyi tanımlayan temel bir özelliktir. Bu bağıntı, vektör geometrisinin en önemli araçlarından biridir.

Chasles Bağıntısı:

AB⃗ + BC⃗ = AC⃗

Herhangi üç nokta A, B, C için geçerli

Chasles Teoremi: Uzayda herhangi üç nokta için, iki vektörün toplamı üçüncü vektörü verir.

Özellikler:

• AB⃗ + BA⃗ = 0⃗ (Ters vektörler)
• AA⃗ = 0⃗ (Sıfır vektör)
• AB⃗ = -BA⃗ (Yön değişimi)
• AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + ... + ZA⃗ = 0⃗ (Kapalı poligon)

Eksen Üzerinde Koordinatlama:

Yönlendirilmiş Doğru Parçası: Bir eksen üzerinde iki nokta A ve B için, AB⃗'nin ölçüsü (cebirsel uzunluk) tanımlanır.

mes(AB⃗) = xB - xA

A ve B noktalarının koordinatları xA ve xB ise

Eksen Koordinatları

Bir d doğrusu üzerinde O başlangıç noktası ve birim vektör ê seçilirse:
• Herhangi M noktası için: OM⃗ = x·ê
• x: M noktasının eksendeki koordinatı (absis)
• mes(OM⃗) = x (işaretli uzunluk)

|AB⃗| = |xB - xA| = |mes(AB⃗)|

Geometrik uzunluk = cebirsel ölçünün mutlak değeri

💡 Orta Nokta Formülü:
M, AB doğru parçasının orta noktası ise:
xM = (xA + xB)/2
OM⃗ = (OA⃗ + OB⃗)/2

Bölüm Noktası: M noktası AB'yi k oranında böler ⟺ AM⃗ = k·MB⃗ ⟺ xM = (xA + k·xB)/(1 + k)

Yönlendirilmiş Doğru, Düzlem ve Uzay

Geometrik nesnelerin yönlendirilmesi, onlara bir yön atfedilerek cebirsel işlemler yapılmasını sağlar. Bu kavram, vektör geometrisinin temelini oluşturur.

1. Yönlendirilmiş Doğru:

Tanım: Bir doğruya belirli bir yön atanmasıyla elde edilen yapı.
• Pozitif yön: Seçilen doğrultu
• Negatif yön: Ters doğrultu
• Gösterim: d→ veya (d, ê) (birim vektör ile)

Doğru Üzerinde Ölçü

Yönlendirilmiş doğru d üzerinde:
• mes(AB) > 0: A'dan B'ye pozitif yönde
• mes(AB) < 0: A'dan B'ye negatif yönde
• mes(AB) = -mes(BA): Simetri
• mes(AB) + mes(BC) = mes(AC): Chasles

2. Yönlendirilmiş Düzlem:

Tanım: Bir düzlemde dönme yönü (saat yönü veya tersi) belirlenmesiyle elde edilir.
• Pozitif yön: Genellikle saat yönünün tersi (CCW)
• Negatif yön: Saat yönü (CW)
• Kullanım: Açı ölçümü, alan hesabı

mes(∠AOB) = θ (işaretli açı)

Yönlendirilmiş düzlemde açı ölçüsü

Düzlemde Alan ve Açı

İşaretli Alan: S(ABC) > 0 (CCW), S(ABC) < 0 (CW)
İşaretli Açı: ∠(u⃗, v⃗) ∈ [0, 2π) veya (-π, π]
Özellik: ∠(u⃗, v⃗) = -∠(v⃗, u⃗)

3. Yönlendirilmiş Uzay:

Tanım: Üç boyutlu uzayda el kuralı (sağ el veya sol el) ile belirlenen yönlendirme.
• Sağ el sistemi: (î, ĵ, k̂) - Standart
• Sol el sistemi: Ayna görüntüsü
• Kullanım: Çapraz çarpım, hacim, moment hesapları

V = u⃗ · (v⃗ × w⃗) (işaretli hacim)

Üç vektörün belirlediği paralel yüzlünün hacmi

Dikkat: Koordinat sisteminin yönlendirmesi fiziksel yasaları etkilemez, ancak formüllerin işaretini değiştirir. Daima aynı el kuralını kullanın!

💡 Sağ El Kuralı:
Baş parmak: î (x-ekseni)
İşaret parmağı: ĵ (y-ekseni)
Orta parmak: k̂ (z-ekseni)
Bu sistem altında: î × ĵ = k̂

Vektör İşlemleri ve Cebirsel Özellikler

Vektörler üzerinde tanımlanan temel işlemler: skaler ile çarpım, toplama, çıkarma ve bunların cebirsel özellikleri vektör uzayının yapısını belirler.

1. Skaler ile Çarpım:

λ·v⃗ = (λv₁, λv₂, λv₃)

Skaler λ ile vektör v⃗'nin çarpımı

Özellikler:

• |λ·v⃗| = |λ|·|v⃗| (Büyüklük)
• λ > 0: Aynı yön, λ < 0: Ters yön
• 0·v⃗ = 0⃗ (Sıfır vektör)
• 1·v⃗ = v⃗ (Birim eleman)
• (-1)·v⃗ = -v⃗ (Ters vektör)

Cebirsel Özellikler:
λ(μv⃗) = (λμ)v⃗ (Birleşme)
(λ + μ)v⃗ = λv⃗ + μv⃗ (Dağılma 1)
λ(v⃗ + w⃗) = λv⃗ + λw⃗ (Dağılma 2)

2. Vektör Toplama:

v⃗ + w⃗ = (v₁+w₁, v₂+w₂, v₃+w₃)

Bileşen bazında toplama

Toplama Yöntemleri

Paralelkenar Kuralı: v⃗ ve w⃗ komşu kenarlar ise, toplam köşegen
Üçgen Kuralı: v⃗'nin ucuna w⃗'yi ekle
Poligon Kuralı: Çok sayıda vektör için genelleme

Toplama Özellikleri:
• Değişme: v⃗ + w⃗ = w⃗ + v⃗
• Birleşme: (v⃗ + w⃗) + u⃗ = v⃗ + (w⃗ + u⃗)
• Sıfır eleman: v⃗ + 0⃗ = v⃗
• Ters eleman: v⃗ + (-v⃗) = 0⃗

3. Vektör Çıkarma:

v⃗ - w⃗ = v⃗ + (-w⃗) = (v₁-w₁, v₂-w₂, v₃-w₃)

Çıkarma işlemi ters vektör toplama olarak tanımlanır

Çıkarmanın Geometrik Yorumu

v⃗ - w⃗ vektörü, w⃗'nin ucundan v⃗'nin ucuna çizilen vektördür.
Özel durum: B'den A'ya vektör: BA⃗ = OA⃗ - OB⃗

4. İç Çarpım (Skaler Çarpım):

v⃗ · w⃗ = |v⃗||w⃗|cos(θ) = v₁w₁ + v₂w₂ + v₃w₃

İki vektörün iç çarpımı (skaler sonuç)

İç Çarpım Özellikleri:
• v⃗ · w⃗ = w⃗ · v⃗ (Değişme)
• (λv⃗) · w⃗ = λ(v⃗ · w⃗) (Homojenlik)
• v⃗ · (w⃗ + u⃗) = v⃗ · w⃗ + v⃗ · u⃗ (Dağılma)
• v⃗ · v⃗ = |v⃗|² (Norm kare)
• v⃗ · w⃗ = 0 ⟺ v⃗ ⊥ w⃗ (Ortogonalite)

5. Vektörel Çarpım (Çapraz Çarpım):

v⃗ × w⃗ = |v⃗||w⃗|sin(θ)·n̂

Vektörel çarpım (vektör sonuç, n̂: dik birim vektör)

v⃗ × w⃗ = (v₂w₃-v₃w₂, v₃w₁-v₁w₃, v₁w₂-v₂w₁)

Bileşen formu (determinant ile)

Vektörel Çarpım Özellikleri:
• v⃗ × w⃗ = -w⃗ × v⃗ (Anti-değişme)
• (λv⃗) × w⃗ = λ(v⃗ × w⃗)
• v⃗ × (w⃗ + u⃗) = v⃗ × w⃗ + v⃗ × u⃗
• v⃗ × v⃗ = 0⃗
• |v⃗ × w⃗| = |v⃗||w⃗|sin(θ) (Paralelkenar alanı)
• v⃗ × w⃗ = 0⃗ ⟺ v⃗ ∥ w⃗ (Paralellik)

💡 Temel Birim Vektörler:
î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ
ĵ × î = -k̂, k̂ × ĵ = -î, î × k̂ = -ĵ

6. Karışık Çarpım (Skaler Üçlü Çarpım):

u⃗ · (v⃗ × w⃗) = det[u⃗, v⃗, w⃗]

Üç vektörün paralel yüzlü hacmi

Önemli: Vektörel çarpım değişme özelliğine sahip değildir!
v⃗ × w⃗ ≠ w⃗ × v⃗ (Genel olarak)
Ayrıca birleşme özelliği de yoktur: (u⃗ × v⃗) × w⃗ ≠ u⃗ × (v⃗ × w⃗)

Vektör Uzayı ve İzdüşüm Teoremleri

Vektör uzayı, vektör toplama ve skaler çarpma işlemlerine göre kapalı olan cebirsel bir yapıdır. İzdüşüm kavramı, vektörlerin analiz edilmesinde temel araçtır.

Vektör Uzayı Tanımı:

Tanım: V kümesi aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir vektör uzayıdır:

Vektör Uzayı Aksiyomları:

• (A1) v⃗ + w⃗ = w⃗ + v⃗ (Değişme)
• (A2) (u⃗ + v⃗) + w⃗ = u⃗ + (v⃗ + w⃗) (Birleşme)
• (A3) ∃ 0⃗: v⃗ + 0⃗ = v⃗ (Sıfır eleman)
• (A4) ∀v⃗ ∃(-v⃗): v⃗ + (-v⃗) = 0⃗ (Ters eleman)
• (M1) 1·v⃗ = v⃗ (Birim eleman)
• (M2) λ(μv⃗) = (λμ)v⃗ (Birleşme)
• (D1) λ(v⃗ + w⃗) = λv⃗ + λw⃗ (Dağılma)
• (D2) (λ + μ)v⃗ = λv⃗ + μv⃗ (Dağılma)

Vektör Uzayı Örnekleri

• ℝⁿ: n-boyutlu reel sayı uzayı
• ℂⁿ: n-boyutlu kompleks sayı uzayı
• Polinomlar uzayı: P[x]
• Matrisler uzayı: Mₘₓₙ
• Fonksiyonlar uzayı: C[a,b]

İzdüşüm (Projeksiyon):

proj_u⃗(v⃗) = (v⃗ · û)·û = (v⃗ · u⃗/|u⃗|²)·u⃗

v⃗ vektörünün u⃗ yönündeki izdüşümü

İzdüşüm Bileşenleri:
• Skaler izdüşüm: comp_u⃗(v⃗) = v⃗ · û = |v⃗|cos(θ)
• Vektör izdüşümü: proj_u⃗(v⃗) = comp_u⃗(v⃗)·û
• Dik bileşen: v⃗_⊥ = v⃗ - proj_u⃗(v⃗)

v⃗ = proj_u⃗(v⃗) + v⃗_⊥

Vektörün paralel ve dik bileşenlere ayrışımı

İzdüşüm Teorem 1: proj_u⃗(v⃗) · v⃗_⊥ = 0 (Dik bileşenler ortogonaldir)

İzdüşüm Teorem 2: |proj_u⃗(v⃗)|² + |v⃗_⊥|² = |v⃗|² (Pisagor teoremi)

İzdüşüm Teorem 3 (Lineerlik):
proj_u⃗(v⃗ + w⃗) = proj_u⃗(v⃗) + proj_u⃗(w⃗)
proj_u⃗(λv⃗) = λ·proj_u⃗(v⃗)

Uygulamalar

• Fizikte kuvvet bileşenleri
• Bilgisayar grafiklerinde gölgeleme
• İstatistikte regresyon analizi
• Makine öğreniminde özellik projeksiyonu