Üzerinde-olama geometrisi, bir çok-katlı yapının kendi içinde tanımlanan geometrik özellikleri incelemektedir. Başka bir uzayda gömülü olup olmadığı önemli değildir.
Tanım: Manifold
Bir n-boyutlu manifold M, her noktasında n-boyutlu Öklid uzayına yerel olarak homeomorfik olan topolojik uzaydır. Eğer pürüzsüz yapıya sahipse, düzgün (smooth) manifold olarak adlandırılır.
$$M \text{ is a smooth n-manifold if: } \forall p \in M, \exists \text{ neighborhood } U \ni p \text{ and diffeomorphism } \phi: U \to \mathbb{R}^n$$
Temel Elemanlar:
- • Tanjant Uzayı (T_pM): Manifoldda p noktasındaki vektörlerin uzayı
- • Teğet Demeti (TM): Tüm tanjant uzaylarının birleşimi
- • Riemann Metriği (g): Her tanjant uzayında iç çarpım tanımı
- • Geodezik: Manifold üzerindeki en kısa yollar
Teorem: Riemann Metriği
M düzgün manifold olsun. Riemann metriği g, TM'nin her lifinde tanımlanan, pürüzsüz değişen pozitif definit simetrik bilineer formdur. Metrik ile donatılmış manifold (M,g) Riemann manifoldu olarak adlandırılır.
İç Metrik Özellikleri:
// İç metrik özellikleri
// 1. Metrik tensör
g_ij : TM × TM → ℝ
g_ij(v,w) = ⟨v,w⟩
// 2. Çizgi elemanı
ds² = g_ij dx^i dx^j
// 3. Eğri uzunluğu
L(γ) = ∫_a^b √(g_ij(γ'(t))γ'(t)^i γ'(t)^j) dt
// 4. Riemann mesafesi
d(p,q) = inf{L(γ) : γ piecewise smooth curve from p to q}
Geometrik İnterpretasyon
Riemann metriği, manifold üzerindeki mesafeleri ve açıları tanımlar. İç metrik, manifoldun eğriliğini belirler - çok-katlı kendisine "nasıl kavisli" olduğunu anlatır.
Örnek: 2-boyutlu düzlemde pürüzsüz metrik
Örnek Açıklama
Örneğin Poincaré düzlemi metriği ds² = (dx² + dy²)/y² ele alındığında, her noktada metrik tensör
g = 1/y² \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}
Poincaré Modeli: Düzlem ve Disk
Poincaré modeli, hiperbolik geometrinin iki önemli modelini sunar: Üst Yarı-Düzlem (Upper Half-Plane) ve Disk Modeli. Bu modeller, hiperbolik geometrinin Öklid geometriden farklı özelliklerini görselleştirir.
Poincaré Üst Yarı-Düzlem Modeli:
Tanım: Üst Yarı-Düzlem
Üst Yarı-Düzlem H = {(x,y) ∈ ℝ² : y > 0} ile metrik ds² = (dx² + dy²)/y² tarafından verilen hiperbolik düzlemin Poincaré modelidir.
$\mathbb{H}^2_P = \{z \in \mathbb{C} : \text{Im}(z) > 0\}$
$ds^2 = \frac{|dz|^2}{(\text{Im}(z))^2}$
Poincaré Disk Modeli:
Tanım: Disk Modeli
Disk Modeli, birim disk D = {z ∈ ℂ : |z| < 1} üzerinde ds² = 4|dz|²/(1-|z|²)² metriği ile tanımlanır. Tüm hiperbolik düzlem, açık diskin içine "sıkıştırılır".
$\mathbb{D}^2 = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$
$ds^2 = \frac{4|dz|^2}{(1-|z|^2)^2}$
Model Dönüşümü: Möbius dönüşümü tarafından birbirlerine eşlenebilir
- • Cayley Dönüşümü: Üst yarı-düzlem ↔ Disk
- • Uyum Dönüşümü (Conformal): Açıları koruyan dönüşüm
- • Aynı eğriliğe sahip izometrik modeller
// Cayley Dönüşümü
// Üst yarı-düzlem → Disk
f(z) = (z - i)/(z + i)
// Disk → Üst yarı-düzlem
f⁻¹(w) = i(1 + w)/(1 - w)
// Özellikleri:
// - Açı koruyan (conformal)
// - Metrik yapısını korur
// - Geodezikleri geodeziklere eşler
Geometrik Sezgi
Poincaré modellerinde "sonsuzdaki noktalar" diskre sınırına veya yarı-düzlem sonsuza gider. Hiperbolik düzlem, sonsuza yaklaştıkça hızla büyür - bu nedenle sonlu disk veya yarı-düzlem içine sonsuz bir alan sığar.
Teorem: Model Eşdeğerliği
Poincaré Üst Yarı-Düzlem Modeli ve Poincaré Disk Modeli Cayley dönüşümü aracılığıyla izometriktir. Her iki model de sabit negatif eğriliğe (-1) sahip tek boyutlu hiperbolik geometriyi temsil eder.
Uygulama: Möbius / Cayley dönüşümü örneği
// Basit JS örneği: Üst yarı-düzlem ↔ Disk (karmaşık sayı düzleminde)
function cayleyToDisk(z) {
// z = {re, im}
const denomRe = z.re + 0; // (z + i) gerçek kısmı
const denomIm = z.im + 1; // (z + i) imag kısmı
// (z - i)/(z + i) hesaplamak için karmaşık bölme
const numRe = z.re - 0;
const numIm = z.im - 1;
const denomAbs2 = denomRe*denomRe + denomIm*denomIm;
return {
re: (numRe*denomRe + numIm*denomIm) / denomAbs2,
im: (numIm*denomRe - numRe*denomIm) / denomAbs2
};
}
// Not: Bu basit örnek öğretici amaçlıdır; üretimde karmaşık kütüphaneler tercih edilmelidir.
Uzaklık Kavramı ve Koordinatlama
Hiperbolik uzayda mesafe, Öklid geometrisinden çok farklıdır. Hiperbolik metrik, artefakları exp-lineer olmayan şekilde büyütür.
Hiperbolik Mesafe Formülleri:
Poincaré Disk Modelinde:
$d_{\mathbb{D}}(z,w) = \text{arcosh}\left(\frac{1 + 2\frac{|z-w|^2}{(1-|z|^2)(1-|w|^2)}}{1 - 2\frac{|z-w|^2}{(1-|z|^2)(1-|w|^2)}}\right)$ Basitleştirilmiş form:
$\tanh\left(\frac{d(z,w)}{2}\right) = \frac{|z-w|}{|1-\overline{z}w|}$
$d_{\mathbb{D}}(z,w) = \text{arcosh}\left(\frac{1 + 2\frac{|z-w|^2}{(1-|z|^2)(1-|w|^2)}}{1 - 2\frac{|z-w|^2}{(1-|z|^2)(1-|w|^2)}}\right)$ Basitleştirilmiş form:
$\tanh\left(\frac{d(z,w)}{2}\right) = \frac{|z-w|}{|1-\overline{z}w|}$
Poincaré Üst Yarı-Düzleminde:
$d_{\mathbb{H}}(z,w) = \text{arcosh}\left(1 + \frac{|z-w|^2}{2\text{Im}(z)\text{Im}(w)}\right)$
$d_{\mathbb{H}}(z,w) = \text{arcosh}\left(1 + \frac{|z-w|^2}{2\text{Im}(z)\text{Im}(w)}\right)$
Tanım: Hiperbolik Koordinatlar
Sabit bir nokta (ör. kaynak) O seçildiğinde, hiperbolik uzay kutupsal koordinatlarla (r, θ) ile parametrelenebilir. Burada r hiperbolik uzaklığı, θ yönü gösterir.
// Hiperbolik Mesafe Hesaplaması
// Disk Modelinde basit formül
function hyperbolic_distance_disk(z, w):
// z, w kompleks sayılar, |z|,|w| < 1
numerator = abs(z - w)
denominator = abs(1 - conj(z) * w)
ratio = numerator / denominator
// arctanh for numerical stability
distance = arctanh(ratio)
return distance
// Üst yarı-düzlem modelinde
function hyperbolic_distance_upperhalf(z, w):
z_imag = Im(z)
w_imag = Im(w)
diff_squared = abs(z - w) ** 2
argument = 1 + (diff_squared / (2 * z_imag * w_imag))
distance = arcosh(argument)
return distance
Sayısal Stabilite: arcosh ve arctanh fonksiyonları sayısal açıdan stabil değildir. Hiperbolik fonksiyonlar için özel kütüphaneler kullanılmalıdır.
Koordinat Sistemleri:
Yaygın Hiperbolik Koordinatlar:
- • Kutupsal (r,θ): Merkezden uzaklık ve açı
- • Jeodezik Normalormal (u,v): Geodezik paralel koordinatlar
- • Pseudosferik: Belirli geodeziklere göre tanımlanan
- • Homojen Koordinatlar: Lorentz modelinde doğal
Lorentz n-Uzayı
Lorentz uzayı, hiperbolik geometriyi temsil etmek için en doğal ve uygun cebirsel araçtır. Minkowski metriği ile donatılmış bir vektör uzayıdır.
Tanım: Lorentz Uzayı
(n+1)-boyutlu Lorentz uzayı ℝⁿ,¹, Minkowski metriği tarafından verilen indefinit iç çarpımla donatılmış ℝⁿ⁺¹'dir. Metrik matrisi diag(-1, 1, ..., 1) şeklindedir.
$\mathbb{R}^{n,1} = \mathbb{R}^{n+1}$
$\langle x, y \rangle_L = -x_0y_0 + x_1y_1 + \cdots + x_ny_n$
$= x^T \begin{pmatrix} -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} y$
Lorentz Uzayı Özellikleri:
- • İndefinit Metrik: İç çarpım pozitif veya negatif olabilir
- • Timelike Vektörler: ⟨v,v⟩ < 0
- • Spacelike Vektörler: ⟨v,v⟩ > 0
- • Lightlike (Null) Vektörler: ⟨v,v⟩ = 0
// Lorentz Metriği ve Vektör Sınıflandırması
// Minkowski metriği
class LorentzSpace:
def __init__(self, dim):
self.n = dim // n+1 boyut
// Metrik matrisi: diag(-1, 1, ..., 1)
self.metric = diag([-1] + [1]*dim)
def lorentz_inner_product(self, x, y):
return x[0]*y[0]*(-1) + dot(x[1:], y[1:])
def vector_type(self, v):
inner = self.lorentz_inner_product(v, v)
if inner < 0:
return "timelike"
elif inner > 0:
return "spacelike"
else:
return "lightlike/null"
def lorentz_norm(self, v):
// Lorentz normu (indefinit)
inner = self.lorentz_inner_product(v, v)
if inner < 0:
return sqrt(-inner)
else:
return sqrt(inner) // veya undefinedTeorem: Hiperbolik Hipersurface
Hiperboloid H⁻ = {x ∈ ℝⁿ,¹ : ⟨x,x⟩_L = -1, x₀ > 0} Lorentz n-uzayında tanımlanır. Bu hipersurface, Lorentz metrikisinin H⁻'ya indüklediği metrikle n-boyutlu hiperbolik uzay oluşturur.
Lorentz Grubu (Lorenz Group):
Tanım: Ortogonal Grup
O(n,1) = {A ∈ GL(n+1,ℝ) : A^T Diag(-1,1,...,1) A = Diag(-1,1,...,1)} Lorentz metrikini koruyan lineer dönüşümler grubudur. SO⁺(n,1) ⊂ O(n,1), hiperboloid modelinin izometri grubudur.
Hiperbolik n-Uzay
n-boyutlu hiperbolik uzay, sabit negatif eğrilik -1 ile tam, basitçe bağlı Riemann manifoldudur. Üç eşdeğer model kullanılarak temsil edilir.
Tanım: Hiperbolik n-Uzay
Hiperbolik n-uzay ℍⁿ, sabit kesit eğriliği K = -1 olan n-boyutlu, tamamen, basitçe bağlı Riemann manifoldudur. Topolojik olarak ℝⁿ'ye homotopiktir.
Hiperbolik Uzayın Üç Modeli:
1. Poincaré Disk Modeli:
$$\displaystyle \mathbb{D}^n = \{x \in \mathbb{R}^n : |x| < 1\},\qquad ds^2 = \frac{4\,|dx|^2}{(1-|x|^2)^2}$$
$$\displaystyle \mathbb{D}^n = \{x \in \mathbb{R}^n : |x| < 1\},\qquad ds^2 = \frac{4\,|dx|^2}{(1-|x|^2)^2}$$
2. Poincaré Üst Yarı-Uzay Modeli:
$$\displaystyle \mathbb{H}_+^n = \{(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n : x_n > 0\},\qquad ds^2 = \frac{|dx|^2}{x_n^2}$$
$$\displaystyle \mathbb{H}_+^n = \{(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n : x_n > 0\},\qquad ds^2 = \frac{|dx|^2}{x_n^2}$$
3. Hiperboloid Modeli (Lorentz Modeli):
$$\displaystyle \mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^{n,1} : \langle x,x \rangle_L = -1,\; x_0 > 0\},\qquad g_x(v,w)=\langle v,w\rangle_L\; (v,w\in T_x\mathbb{H}^n)$$
$$\displaystyle \mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^{n,1} : \langle x,x \rangle_L = -1,\; x_0 > 0\},\qquad g_x(v,w)=\langle v,w\rangle_L\; (v,w\in T_x\mathbb{H}^n)$$
Model Dönüşümleri:
Poincaré Disk ↔ Üst Yarı-Uzay: Stereografik projeksiyon
Hiperboloid ↔ Poincaré Disk: Radial projeksiyon
Hiperboloid ↔ Üst Yarı-Uzay: Doğrudan dönüşüm
Poincaré Disk ↔ Üst Yarı-Uzay: Stereografik projeksiyon
Hiperboloid ↔ Poincaré Disk: Radial projeksiyon
Hiperboloid ↔ Üst Yarı-Uzay: Doğrudan dönüşüm
// Hiperbolik n-Uzay Özellikleri
// Hacim Formu (Poincaré Disk)
dV = (2/(1-|x|²))ⁿ dx₁...dxₙ
// Eğrilik Tensörü (Sabit -1)
Rᵢⱼₖₗ = -(gᵢₖgⱼₗ - gᵢₗgⱼₖ)
// Ricci Tensörü
Ricᵢⱼ = -(n-1)gᵢⱼ
// Ricci Skalar
R = -n(n-1)Teorem: Model Eşdeğerliği
Poincaré Disk, Poincaré Üst Yarı-Uzay ve Hiperboloid modelleri izometrik olarak eşdeğerdir. Her biri n-boyutlu hiperbolik geometriyi tam olarak temsil eder ve sabit negatif eğriliği korur.
Hiperbolik Uzayın Özellikleri:
- • Tam Metrik Uzay: Cauchy serileri yakınsak
- • Negatif Eğrilik: Kesit eğriliği K = -1 (sabit)
- • Sonsuz Çevre: Hiperboloid yüzey alanı sonsuz
- • Üstel Hacim Büyümesi: Vol(B(r)) ≈ e^(n-1)r
Yarı-Riemann Koneksiyon
Levi-Civita koneksiyonu, Riemann manifoldunda türevlemeyi tanımlayan torsiyonsuz ve metrik-uyumlu temel araçtır.
Tanım: Levi-Civita Koneksiyonu
(M,g) Riemann manifoldu olsun. Levi-Civita koneksiyonu ∇, TM üzerinde aşağıdaki özellikleri sağlayan türevin tek bir torsiyonsuz uzantısıdır:
1) Torsion sıfır: [X,Y] = ∇_X Y - ∇_Y X
2) Metrik uyumlu: ∇g = 0
Christoffel Sembolleri:
$\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2}g^{kl}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right)$
$\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2}g^{kl}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right)$
// Christoffel Sembolleri Hesaplaması
function christoffel_symbols(metric_tensor, coordinates):
// metric_tensor: g_ij
// coordinates: x^1, ..., x^n
n = len(coordinates)
gamma = zeros((n, n, n))
// g^kl = (g_ij)^(-1)
inverse_metric = inverse(metric_tensor)
for k in range(n):
for i in range(n):
for j in range(n):
for l in range(n):
// ∂g_jl/∂x^i
term1 = partial_derivative(metric_tensor[j,l], coordinates[i])
// ∂g_il/∂x^j
term2 = partial_derivative(metric_tensor[i,l], coordinates[j])
// ∂g_ij/∂x^l
term3 = partial_derivative(metric_tensor[i,j], coordinates[l])
gamma[k,i,j] += 0.5 * inverse_metric[k,l] * (term1 + term2 - term3)
return gammaTeorem: Levi-Civita Koneksiyonunun Varlığı ve Eşsizliği
(M,g) Riemann manifoldu olsun. Levi-Civita koneksiyonu ∇ vardır ve tektir. Koneksiyon, Christoffel sembollerle tarafından lokal koordinatlarda tamamen belirlenmiştir.
Koneksiyon Özellikleri:
Temel İşlemler:
- • Kovaryant türev (∇): Vektör alanlarının kıvrımlı uzayda türevidir
- • Paralel Taşıma: Bir vektörü geodezik boyunca sabit tutma işlemi
- • Geodezik Denklemi: ∇_{γ'} γ' = 0, yerel koordinatlarda γ''^k + Γ^k_{ij} γ'^i γ'^j = 0
- • Simetriler: İzometride koneksiyon doğal olarak korunur
Örnek: Poincaré Üst Yarı-Düzlemi - Christoffel bileşenleri
Hızlı Hesap
Poincaré üst yarı-düzlem metriği ds² = (dx² + dy²)/y² için tekil non-sıfır Christoffel sembolleri (lokal koordinatlar x^1 = x, x^2 = y):
- Γ^x_{xy} = Γ^x_{yx} = -1/y
- Γ^y_{xx} = 1/y , Γ^y_{yy} = -1/y
Not: Bu belge eğitim amaçlıdır; sayısal hesaplamalar için kararlı kütüphaneler (arb, mpmath, numpy/scipy) veya matematiksel kütüphaneler kullanınız.