Sürekli fonksiyon kavramı, genellikle kalkülüs veya analiz kitaplarında ilk olarak karşımıza çıkar. Bir fonksiyonun reel eksen üzerindeki sürekliliği ε − δ tanımı kullanılarak ilk kez Bolzano tarafından 1817 yılında verilmiştir. Metrik yapısını kullanmadan genelleştirerek, topolojik uzaylar arasındaki sürekli fonksiyonları tanımlamak mümkündür.
fonksiyonunun sürekliliği fonksiyonun f(x) = y tanımından bağımsız olarak (sabit fonksiyon hariç) X ve Y kümeleri üzerindeki topolojilere bağlıdır.
"Gutta cavat lapidem non vi sed saepe cadendo."
(Taşı delen suyun gücü değil damlaların sürekliliğidir.)
— Publius Ovidius Naso
Bir Noktada Süreklilik
Tanım 3.1.1: (X, τ) ve (Y, σ) topolojik uzayları, f : X → Y fonksiyonu ve bir x ∈ X noktası verilsin. Eğer f(x) noktasının her V ⊂ Y komşuluğu için, f(U) ⊂ V olacak şekilde x noktasının bir U ⊂ X komşuluğu varsa, f fonksiyonuna x noktasında süreklidir denir.
f, x ∈ X noktasında süreklidir ⇐⇒ ∀V ∈ ϑ(f(x)) için, ∃U ∈ ϑ(x) ϶ f(U) ⊂ V
f fonksiyonu, x ∈ X noktasında sürekli değil
⇐⇒ ∃V ∈ ϑ(f(x)) ∀U ∈ ϑ(x) için f(U) ⊈ V
⇐⇒ ∃V ∈ ϑ(f(x)) ϶ f⁻¹(V) ∉ ϑ(x)
İşlemlerde kolaylık olması açısından ispatlarda ve çözümlerde bu notdan itibaren:
• "Bir f fonksiyonu x ∈ X noktasında süreklidir" → f, x ∈ X, (c)
• "Bir f fonksiyonu x ∈ X noktasında sürekli değildir" → f, x ∈ X, ~(c)
Teorem 3.1.2: Bir f : (X, τ) → (Y, σ) fonksiyonu verilsin. Bu takdirde, aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
(i) f fonksiyonu x ∈ X noktasında süreklidir.
(ii) ∀V ∈ ϑ(f(x)) için, ∃U ∈ ϑ(x) ϶ x ∈ U ⟹ f(x) ∈ V dir.
(iii) ∀V ∈ ϑ(f(x)) için, ∃U ∈ ϑ(x) ϶ U ⊂ f⁻¹(V) dir.
(iv) ∀V ∈ ϑ(f(x)) için, f⁻¹(V) ∈ ϑ(x) dir.
(v) G(f(x)) ailesi, f(x) noktasının komşuluklar tabanı olmak üzere ∀W ∈ G(f(x)) için, f⁻¹(W) ∈ ϑ(x)
Örnek 3.1.3: X = {a, b, c} kümesi üzerinde τ = {X, ∅, {a}, {a, b}} topolojisi verilsin. f : X → X fonksiyonu, f(a) = b, f(b) = c ve f(c) = a şeklinde tanımlansın. Bu takdirde f fonksiyonu, (X, τ) uzayının hangi noktalarında sürekli olduğunu araştıralım.
Çözüm: Noktaların komşuluklarını yazalım:
ϑ(a) = {X, {a}, {a, b}, {a, c}}
ϑ(b) = {X, {a, b}}
ϑ(c) = {X}
a ∈ X noktası için: f(a) = b noktasının bütün komşulukları X ve {a, b} için f⁻¹(X) = X ∈ ϑ(a) ve f⁻¹({a, b}) = {a, c} ∈ ϑ(a) olduğundan, f fonksiyonu a ∈ X noktasında süreklidir.
b ∈ X noktası için: f(b) = c noktasının bütün komşulukları X için f⁻¹(X) = X ∈ ϑ(b) olduğundan, f fonksiyonu b ∈ X noktasında süreklidir.
c ∈ X noktası için: f(c) = a noktasının {a} komşuluğu için f⁻¹({a}) = {c} ∉ ϑ(c) olduğundan f fonksiyonu, c ∈ X noktasında sürekli değildir.
Uyarı 3.1.4: Süreklilik kavramı, lokal bir özelliktir. Bir noktada sürekli olan bir fonksiyon, diğer bir noktada sürekli olmayabilir.
Teorem 3.1.5: f : (X, τ) → (Y, σ) fonksiyonu ve bir A ⊂ X alt kümesi verilsin. Eğer f fonksiyonu, x ∈ X noktasında sürekli ve x ∈ A ise f(x) ∈ f(A) olur.
f, x ∈ X, (c) ∧ x ∈ A ⟹ f(x) ∈ f(A)
Teorem 3.1.6: f : (X, τ₁) → (Y, τ₂) ve g : (Y, τ₂) → (Z, τ₃) fonksiyonları verilsin. Eğer f fonksiyonu, x ∈ X noktasında sürekli ve g fonksiyonu da f(x) noktasında sürekli ise, g ∘ f : X → Z fonksiyonu, x ∈ X noktasında süreklidir.
Her Noktada Süreklilik
Tanım 3.2.1: f : (X, τ) → (Y, σ) bir fonksiyonu her x ∈ X noktasında sürekli ise, f fonksiyonuna X kümesi üzerinde süreklidir denir.
Uyarı 3.2.2: Eğer f fonksiyonunun tanım ya da değer kümesi üzerinde birden çok topolojik yapıyı aynı zamanda düşünüyorsak, f fonksiyonunun hangi topolojiye göre sürekli olduğunu belirtmek gerekir. Bunun için "f : (X, τ) → (Y, σ) süreklidir" ya da "f fonksiyonu τ − σ süreklidir" şeklinde ifade edilir.
İşlemlerde kolaylık olması açısından:
• "Bir f fonksiyonu X uzayının her noktasında süreklidir" → f, (c)
• "Bir f fonksiyonu X uzayının her noktasında sürekli değildir" → f, ~(c)
Teorem 3.2.3: f : (X, τ) → (Y, σ) fonksiyonu için, aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
(i) f fonksiyonu süreklidir.
(ii) ∀A ⊂ X, f(A) ⊂ f(A) olur.
(iii) ∀F ⊂ Y kapalı alt kümesi için f⁻¹(F) ⊂ X alt kümesi (X, τ) uzayında kapalı küme olur.
(iv) ∀A ⊂ Y açık alt kümesi için f⁻¹(A) ⊂ X alt kümesi (X, τ) uzayında açık küme olur.
Uyarı 3.2.4: f : (X, τ) → (Y, σ) fonksiyonunun her noktada sürekli olduğunu göstermek için en sık kullanılan kriterler açık ve kapalı kümelerin kullanıldığı kriterlerdir.
f, (c) ⇔ ∀U ∈ σ için f⁻¹(U) ∈ τ
f, (c) ⇔ ∀F ∈ σᵗ için f⁻¹(F) ∈ τᵗ
Teorem 3.2.6: f : (X, τ) → (Y, σ) fonksiyonu ve B ⊂ σ tabanı verilsin. Bu durumda f fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart her B ∈ B için f⁻¹(B) ∈ τ olmasıdır.
f, (c) ⇐⇒ ∀B ∈ B, f⁻¹(B) ∈ τ
Teorem 3.2.7: f : (X, τ) → (Y, σ) fonksiyonu verilsin. S ⊂ σ alt taban olmak üzere, f fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart her S için f⁻¹(S) ∈ τ olmasıdır.
f, (c) ⇐⇒ ∀s ∈ S, f⁻¹(S) ∈ τ
Teorem 3.2.8: f : (X, τ₁) → (Y, τ₂) ve g : (Y, τ₂) → (Z, τ₃) fonksiyonları sürekli ise g ∘ f : X → Z fonksiyonu da sürekli olur.
Örnek 3.2.9: Tanım kümesi üzerinde ayrık uzay tanımlı olan f : (X, P(X)) → (Y, σ) fonksiyon görüntü kümesi üzerindeki topolojiden bağımsız olarak her zaman süreklidir.
Çözüm: Her A ∈ σ açık kümesi için A ∈ σ ⟹ f⁻¹(A) ⊂ X ⟹ f⁻¹(A) ∈ P(X) (Ayrık uzayda her alt küme açık küme olur) ⟹ f, (c)
Örnek 3.2.10: Görüntü kümesi üzerinde kaba uzay tanımlı olan f : (X, τ) → (Y, {Y, ∅}) fonksiyon tanım kümesi üzerindeki topolojiden bağımsız olarak her zaman süreklidir.
Çözüm: (Y, {Y, ∅}) uzayındaki açık kümeler ∅ ve Y kümeleridir. (X, τ) topolojik uzayı için ∅, X ∈ τ olduğundan f⁻¹(Y) = X ∈ τ ve f⁻¹(∅) = ∅ ∈ τ elde edilir. O halde f fonksiyonu süreklidir.
Uyarı 3.2.11: Bir f fonksiyonunun sürekliliğini en zor olduğu durum tanım ve görüntü kümesi f : (X, {X, ∅}) → (Y, P(Y)) şeklindedir. X ve Y kümeleri birden fazla elemana sahipse tanım kümesinde kaba uzay ve görüntü kümesinde ayrık uzay tanımlı olduğunda sadece sabit fonksiyon sürekli olur.
Örnek 3.2.12: y₀ ∈ Y sabit bir nokta olmak üzere her x ∈ X noktası için, f(x) = y₀ şeklinde tanımlanan f : (X, τ) → (Y, σ) sabit fonksiyonu süreklidir.
Çözüm: Herhangi bir B ∈ σ kümesi verilsin. B kümesinin öngörüntüsü:
f⁻¹(B) = {∅, y₀ ∉ B; X, y₀ ∈ B}
∅, X ∈ τ olduğundan f⁻¹(B) ∈ τ elde edilir. Sonuç olarak sabit fonksiyon sürekli olur.
Sonuç 3.2.13: Sabit fonksiyon tanım ve görüntü kümesi üzerindeki topolojilerden bağımsız olarak her zaman süreklidir.
Örnek 3.2.14: f : (X, τ) → (X, τ) birim fonksiyonu süreklidir.
Çözüm: f : (X, τ) → (X, τ) birim fonksiyonu, her x ∈ X noktası için, f(x) = x şeklinde tanımlıdır. Her B ∈ τ açık kümesi için B ∈ τ ⟹ f⁻¹(B) = B (f birim fonksiyon) ⟹ f⁻¹(B) ∈ τ (B ∈ τ) ⟹ f, (c)
Örnek 3.2.15: X kümesi birden fazla eleman içeren bir küme ve f : (X, τ₁) → (X, τ₂) birim fonksiyon olmak üzere eğer τ₁ topoloji τ₂ topolojisinden daha kaba ise birim fonksiyon sürekli değildir.
Çözüm: τ₁ ⊂ τ₂ olsun. Buradan ∃U ∈ τ₂ ϶ U ∉ τ₁ olur. U ∈ τ₂ için f⁻¹(U) = U ∉ τ₁ olduğundan f fonksiyonu sürekli değildir.
Sonuç 3.2.16: Birim fonksiyon her zaman sürekli değildir.