Uygulamalı Matematiğin Metotları

İki nokta sınır değer problemi (SVP), bir diferansiyel denklemin belirli bir aralıkta tanımlı olması ve bu aralığın uç noktalarında (sınır noktalarında) belirli koşullar sağlanması anlamına gelir.

Burada \( L \) lineer diferansiyel operatördür, \( \lambda \) bir parametre (özdeğer), ve \( r(x) \) pozitif ağırlık fonksiyonudur. Sınır koşulları genellikle şu formda olur:

Çözümün Varlığı: Homojen olmayan bir SVP'nin çözümü, ilgili homojen problemi çözmek ve özel bir çözüm (partiküler çözüm) bulmak suretiyle elde edilir.

Örnek: \( y'' + \lambda y = 0 \) denklemi \( 0 < x < L \) aralığında, \( y(0) = 0 \) ve \( y(L) = 0 \) sınır koşullarıyla.

Özdeğer problemi, diferansiyel denklemin parametresine (\( \lambda \)) bağlı olarak çözümlerinin var olup olmadığını inceleyen problem türüdür. Özdeğer problemi aşağıdaki gibi genel formda yazılır:

Özdeğer (\( \lambda \)): Trivial olmayan çözümün mevcut olduğu \( \lambda \) değerleridir.

Özfonksiyon (\( y(x) \)): Belirli bir özdeğere karşılık gelen çözüm fonksiyonudur.

Örnek (Basit Harmonik Osilatör): \( y'' + \lambda y = 0 \), \( y(0) = 0 \), \( y(L) = 0 \).

Karakteristik denklem \( r^2 + \lambda = 0 \) olur.

• \( \lambda < 0 \): Reel kökler, hiperbolik çözümler. Sınır koşulları sadece trivial çözümü verir.
• \( \lambda = 0 \): \( y = c_1 x + c_2 \). Sınır koşulları trivial çözümü verir.
• \( \lambda > 0 \): \( y = c_1 \cos(\sqrt{\lambda}x) + c_2 \sin(\sqrt{\lambda}x) \). \( y(0) = 0 \Rightarrow c_1 = 0 \). \( y(L) = 0 \Rightarrow c_2 \sin(\sqrt{\lambda}L) = 0 \).

Trivial olmayan çözüm için \( \sin(\sqrt{\lambda}L) = 0 \Rightarrow \sqrt{\lambda}L = n\pi \Rightarrow \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \) ( \( n = 1, 2, 3, ... \) )

Özfonksiyonlar: \( y_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \)

Sturm-Liouville (S-L) problemi, ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin özel ve çok önemli bir sınıfıdır. Fiziksel problemlerde sıkça karşımıza çıkar.

Burada \( p(x) > 0 \), \( r(x) > 0 \) ve \( p, q, r \) fonksiyonları \( [a,b] \) aralığında sürekli fonksiyonlardır.

Sınır Koşulları: S-L probleminin iyi tanımlı olması için uygun sınır koşulları gereklidir. Bunlar genellikle homojendir.

Özdeğer ve Özfonksiyonların Elde Edilmesi:

1. Diferansiyel denklemi çöz (genel çözümü bul).
2. Sınır koşullarını uygula.
3. Trivial olmayan çözümün var olması için \( \lambda \)'ya dair bir denklem elde et (karakteristik denklem).
4. Bu denklemden \( \lambda_n \) özdeğerlerini bul.
5. Her \( \lambda_n \) için karşılık gelen özfonksiyon \( y_n(x) \)'i bul.

Regüler Sturm-Liouville (S-L) problemi, \( p(x) \), \( q(x) \), \( r(x) \) fonksiyonlarının \( [a,b] \) kapalı aralığında sürekli, \( p(x) > 0 \), \( r(x) > 0 \) ve sınır noktalarında düzenli (singularite içermeyen) sınır koşulları olan S-L problemidir.

Regüler Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonları \( \{y_n(x)\} \), \( [a,b] \) aralığında tanımlı ve \( r(x) \) ağırlıklı \( L^2 \) uzayında tam (complete) bir ortogonal sistem oluşturur. Bu, bu uzaydaki herhangi bir fonksiyonun bu özfonksiyonlar cinsinden seriye açılabileceği anlamına gelir.

Burada \( c_n \) Fourier katsayılarıdır ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Noktasal Yakınsaklık: \( f(x) \) fonksiyonu \( [a,b] \) aralığında parçalı sürekli ve \( f'(x) \) mevcut ve parçalı sürekli ise, seri \( f(x) \)'in sürekli olduğu noktalarda \( f(x) \)'e yakınsar. Süreksizlik noktalarında, seri o noktadaki sağ ve sol limitlerin ortalamasına yakınsar.

Düzgün Yakınsaklık: \( f(x) \) ve \( f'(x) \) \( [a,b] \) aralığında sürekli ve uç noktalarda sınır koşullarını sağlıyorsa (yani \( f \) S-L operatörünün tanım kümesine aitse), o zaman seri \( f(x) \)'e düzgün yakınsar.

Fourier serileri, belirli aralıklarda tanımlı fonksiyonları trigonometrik fonksiyonlar (sin ve cos) cinsinden ifade etmenin bir yoludur. Bu özel seriler, Sturm-Liouville teorisinin özel durumlarıdır.

Fourier Kosinüs Serisi: \( f(x) \) fonksiyonu \( [0, L] \) aralığında tanımlı ve çift genişletilebilir ( \( f(-x) = f(x) \) ) olsun. Bu durumda \( f(x) \) sadece kosinüs terimleriyle ifade edilebilir.

Fourier Sinüs Serisi: \( f(x) \) fonksiyonu \( [0, L] \) aralığında tanımlı ve tek genişletilebilir ( \( f(-x) = -f(x) \) ) olsun. Bu durumda \( f(x) \) sadece sinüs terimleriyle ifade edilebilir.

Alıştırma: \( f(x) = x \) fonksiyonunun \( [0, 1] \) aralığında Fourier sinüs serisini bulun.

Çözüm: \( b_n = 2 \int_0^1 x \sin(n\pi x) dx \)

Parçalı integrasyon: \( u = x \), \( dv = \sin(n\pi x) dx \Rightarrow du = dx \), \( v = -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x) \)

\( b_n = 2 \left[ -\frac{x}{n\pi} \cos(n\pi x) \Big|_0^1 + \frac{1}{n\pi} \int_0^1 \cos(n\pi x) dx \right] \)

\( b_n = 2 \left[ -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi) + 0 + \frac{1}{n\pi} \frac{\sin(n\pi x)}{n\pi} \Big|_0^1 \right] \)

\( \sin(n\pi) = 0 \), \( \cos(n\pi) = (-1)^n \)

\( b_n = 2 \left[ -\frac{(-1)^n}{n\pi} \right] = \frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi} \)

Sonuç:

Periyodik Sınır Koşulları: Fonksiyonun ve türevinin belirli bir aralığın uç noktalarında eşit olması koşuludur. \( [a, a+T] \) aralığında tanımlı bir fonksiyon için:

Bu tür koşullar, periyodik davranış sergileyen sistemlerde (örneğin titreşen halka, kristal örgüler) ortaya çıkar.

Örnek: Periyodik S-L Problemi

\( y'' + \lambda y = 0 \), \( x \in [-L, L] \) (veya \( [0, 2L] \)), periyodik sınır koşulları: \( y(-L) = y(L) \), \( y'(-L) = y'(L) \).

Çözüm:

• \( \lambda < 0 \): \( y = c_1 e^{\sqrt{-\lambda}x} + c_2 e^{-\sqrt{-\lambda}x} \). Periyodiklik koşulu sadece \( c_1 = c_2 = 0 \) (trivial çözüm) verir.
• \( \lambda = 0 \): \( y = c_1 x + c_2 \). Periyodiklik koşulu \( c_1 = 0 \). Özdeğer: \( \lambda_0 = 0 \), Özfonksiyon: \( y_0(x) = 1 \).
• \( \lambda > 0 \): \( y = c_1 \cos(\sqrt{\lambda}x) + c_2 \sin(\sqrt{\lambda}x) \).

Periyodiklik koşullarını uygulayalım:

• \( y(-L) = y(L) \Rightarrow c_1 \cos(\sqrt{\lambda}L) - c_2 \sin(\sqrt{\lambda}L) = c_1 \cos(\sqrt{\lambda}L) + c_2 \sin(\sqrt{\lambda}L) \)
  \( \Rightarrow - c_2 \sin(\sqrt{\lambda}L) = c_2 \sin(\sqrt{\lambda}L) \Rightarrow c_2 \sin(\sqrt{\lambda}L) = 0 \)
• \( y'(-L) = y'(L) \Rightarrow -c_1 \sqrt{\lambda} \sin(\sqrt{\lambda}L) + c_2 \sqrt{\lambda} \cos(\sqrt{\lambda}L) = c_1 \sqrt{\lambda} \sin(\sqrt{\lambda}L) + c_2 \sqrt{\lambda} \cos(\sqrt{\lambda}L) \)
  \( \Rightarrow -c_1 \sqrt{\lambda} \sin(\sqrt{\lambda}L) = c_1 \sqrt{\lambda} \sin(\sqrt{\lambda}L) \Rightarrow c_1 \sqrt{\lambda} \sin(\sqrt{\lambda}L) = 0 \)

Trivial olmayan çözüm için \( \sin(\sqrt{\lambda}L) = 0 \Rightarrow \sqrt{\lambda}L = n\pi \Rightarrow \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \) ( \( n = 1, 2, 3, ... \) )

Her \( n \ge 1 \) için iki lineer bağımsız çözüm vardır: \( \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \) ve \( \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \).

Özdeğerler ve Özfonksiyonlar:

• \( \lambda_0 = 0 \), \( y_0(x) = 1 \)
• \( \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \) ( \( n = 1, 2, ... \) )
• \( y_n^{(1)}(x) = \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \), \( y_n^{(2)}(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \)

Alıştırma: \( y'' + \lambda y = 0 \) denklemini \( x \in [0, 2\pi] \) aralığında, \( y(0) = y(2\pi) \), \( y'(0) = y'(2\pi) \) periyodik sınır koşullarıyla çözün.

Çözüm: Yukarıdaki çözümü \( L = \pi \) alarak uygulayın. \( \lambda_0 = 0 \), \( y_0 = 1 \). \( \lambda_n = n^2 \) ( \( n = 1, 2, ... \) ), \( y_n^{(1)} = \cos(nx) \), \( y_n^{(2)} = \sin(nx) \).

Periyodik Regüler Sturm-Liouville problemleri, standart regüler S-L problemlerinin özel bir halidir. Sınır koşulları periyodik olduğundan, elde edilen özfonksiyonlar sistemi de periyodiktir.

Bir Fonksiyonun Fourier Serisine Açılımı:

\( f(x) \) fonksiyonu \( [a, a+T] \) aralığında tanımlı ve karesi integrallenebilir olsun. Bu fonksiyon, ilgili periyodik S-L probleminden elde edilen özfonksiyonlar cinsinden şu şekilde seriye açılabilir:

veya daha genel olarak, \( \lambda_0 = 0 \) özdeğeri için \( \phi_0(x) = 1 \) ve diğer özdeğerler \( \lambda_n \) için karşılık gelen iki özfonksiyon \( \phi_n^{(1)}(x), \phi_n^{(2)}(x) \) kullanılarak:

Fourier katsayıları:

Alıştırma: \( f(x) = x \) fonksiyonunu \( [-\pi, \pi] \) aralığında Fourier serisine açın.

Çözüm: Bu, çift fonksiyon veya tek fonksiyon olmadığı için hem sin hem cos terimleri olacaktır. \( a_0 \), \( a_n \) ve \( b_n \) katsayılarını hesaplayalım.

• \( a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x dx = 0 \) (tek fonksiyonun integrali)
• \( a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos(nx) dx = 0 \) (tek x çift cos = tek fonksiyon, integrali sıfır)
• \( b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) dx \)

\( b_n \) integralini hesaplamak için önceki konudaki yöntemi kullanabiliriz (parçalı integrasyon).

\( \int x \sin(nx) dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n} \int \cos(nx) dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx) \)

\( b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx) \right]_{-\pi}^{\pi} \)

\( \sin(n\pi) = \sin(-n\pi) = 0 \)

\( b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) - \left( -\frac{-\pi}{n} \cos(-n\pi) \right) \right] = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\pi}{n} (-1)^n - \frac{\pi}{n} (-1)^n \right] \)

\( b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{2\pi}{n} (-1)^n \right] = \frac{-2(-1)^n}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \)

Sonuç:

Homojen Olmayan Sınır Değer Problemi (SVP), diferansiyel denklemin sağ tarafı sıfır değilse ve/veya sınır koşulları homojen değilse oluşan problemdir.

Burada \( L \) lineer diferansiyel operatör, \( f(x) \) homojen olmayan terim (kaynak/source term), \( B_1, B_2 \) lineer sınır operatörleri ve \( \gamma_1, \gamma_2 \) sabitlerdir.

Çözüm Yaklaşımları:

1. Süperpozisyon Prensibi: Homojen olmayan denklemin özel çözümünü (\( y_p \)) ve ilgili homojen SVP'nin genel çözümünü (\( y_h \)) bulun. Tam çözüm: \( y = y_h + y_p \). Sınır koşulları \( y \)'ye uygulanarak sabitler bulunur.
2. Green Fonksiyonu Metodu: Problemin Green fonksiyonunu (\( G(x, s) \)) bularak çözüm \( y(x) = \int_a^b G(x, s) f(s) ds + \text{(sınır koşullarından gelen terimler)} \) şeklinde yazılır.

Bir Operatörün Formal Eşleniği:

\( L[y] = a_2(x) y'' + a_1(x) y' + a_0(x) y \) gibi ikinci mertebeden lineer operatör verilsin. Bu operatörün formal eşleniği \( L^+ \) şu şekilde tanımlanır:

Lagrange Özdeşliği: \( u \) ve \( v \) fonksiyonları için,

Burada \( P(u, v) \) \( u, v \) ve onların türevlerine bağlı bir ifadedir (genellikle Wronskian ile ilişkilidir).

Green Özdeşliği: Lagrange özdeşliği \( [a,b] \) aralığı üzerinde integre edilirse:

Bu özdeşlik, operatörlerin eşlenikleri ve sınır terimleri arasındaki ilişkiyi gösterir.

Eşlenik Operatör: Eğer \( L = L^+ \) ise, \( L \)'ye öz-eşlenik (self-adjoint) operatör denir. Sturm-Liouville operatörü \( L[y] = -(py')' + qy \) öz-eşleniktir.

Eşlenik (Adjoint) Sınır Değer Problemi: Bir SVP'nin eşleniği, diferansiyel operatörün eşleniği \( L^+ \) ve yeni sınır koşulları ile tanımlanan başka bir SVP'dir. Bu yeni sınır koşulları, Green özdeşliğindeki yüzey (sınır) terimlerinin sıfır olmasını sağlayacak şekilde seçilir.

Homojen SVP: \( L[y] = \lambda w y \), \( B_1[y] = 0 \), \( B_2[y] = 0 \)

Eşlenik SVP: \( L^+[z] = \lambda w z \), \( B_1^+[z] = 0 \), \( B_2^+[z] = 0 \)

Burada \( B_1^+, B_2^+ \) orijinal \( B_1, B_2 \) koşullarından türetilir.

Fredholm Alternatifi: Homojen olmayan lineer denklem sistemlerinin (ve integral/diferansiyel denklemlerin) çözümünün varlığı ve tekliği için temel bir teoremdir.

Sonlu-boyutlu (Matris) Durum: \( A \vec{x} = \vec{b} \) sistemi için:

• Çözüm vardır \( \Leftrightarrow \) \( \vec{b} \), \( A \)'nın satır uzayına dik olan (sol sıfır uzayına ait olmayan) her vektöre dik değildir.
• Çözüm tektir \( \Leftrightarrow \) \( A \)'nın determinantı sıfır değildir (veya \( A \vec{x} = 0 \) sadece trivial çözümü vardır).

Fonksiyon Uzaylarında Fredholm Alternatifi:

\( L[y] = f(x) \) denklemini \( B_1[y] = 0, B_2[y] = 0 \) sınır koşullarıyla ele alalım.

• Çözümün Varlığı: \( f(x) \) fonksiyonu, eşlenik problem \( L^+[z] = 0 \) denkleminin her çözümü \( z(x) \) için \( \int_a^b f(x) z(x) dx = 0 \) koşulunu sağlıyorsa, çözüm vardır.
• Çözümün Tekliği: \( L[y] = 0 \) homojen problemi sadece trivial çözümü ( \( y=0 \) ) kabul ediyorsa, çözüm tektir.

Alıştırma: \( y'' = 1 \) denklemini \( y(0) = 0 \), \( y(1) = 0 \) sınır koşullarıyla çözün. Fredholm alternatifini uygulayın.

Çözüm:

• Homojen Problem: \( y'' = 0 \), \( y(0) = 0 \), \( y(1) = 0 \). Genel çözüm \( y = c_1 x + c_2 \). Sınır koşulları \( c_2 = 0 \) ve \( c_1 = 0 \) verir. Sadece trivial çözüm \( y=0 \) vardır.
• Fredholm: Homojen problem sadece trivial çözümü kabul ettiği için, her \( f(x) \) için çözüm vardır ve tektir.
• Çözüm: \( y' = x + c_1 \), \( y = \frac{x^2}{2} + c_1 x + c_2 \). \( y(0) = 0 \Rightarrow c_2 = 0 \). \( y(1) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} + c_1 = 0 \Rightarrow c_1 = -\frac{1}{2} \).
• Sonuç: \( y(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} \)

Fredholm alternatifi, Sturm-Liouville problemlerinin homojen olmayan versiyonlarının çözümünü analiz etmek için güçlü bir araçtır. Özellikle, \( \lambda = 0 \) özdeğerinin olup olmadığı durumu çok önemlidir.

Homojen Olmayan S-L Problemi:

Sınır koşulları: \( \alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0 \), \( \beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0 \)

Fredholm Alternatifinin Uygulanışı:

1. Homojen eşlenik problemi çöz: \( L[z] = 0 \) denklemini aynı sınır koşullarıyla çöz. (S-L operatörü öz-eşlenik olduğu için eşlenik problem de aynıdır).
2. Çözüm uzayını bul: \( L[z] = 0 \) denkleminin çözümleri \( z_1(x), z_2(x), ..., z_k(x) \) olsun ( \( k \) boyutlu bir uzay).
3. Çözümün varlığı koşulu: \( f(x) \) fonksiyonu, bu çözümlerin her birine ortogonal olmalıdır:
   \int_a^b f(x) z_i(x) dx = 0, \quad i = 1, 2, ..., k
4. Çözümün tekliği: \( L[y] = 0 \) sadece trivial çözümü kabul ediyorsa ( \( \lambda = 0 \) özdeğer değilse), çözüm tektir. Aksi halde, çözüm bir özel çözüm ve homojen çözümün genel kombinasyonudur.

Alıştırma: \( y'' + y = \sin(x) \) denklemini \( y(0) = 0 \), \( y(\pi) = 0 \) sınır koşullarıyla çözün. Fredholm alternatifini uygulayın.

Çözüm:

• Homojen Problem: \( y'' + y = 0 \), \( y(0) = 0 \), \( y(\pi) = 0 \). Karakteristik denklem \( r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm i \). Genel çözüm \( y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) \). \( y(0) = 0 \Rightarrow c_1 = 0 \). \( y(\pi) = 0 \Rightarrow c_2 \sin(\pi) = 0 \). \( \sin(\pi) = 0 \), bu nedenle \( c_2 \) keyfidir. Özfonksiyon \( z(x) = \sin(x) \) ( \( \lambda = 1 \) özdeğeri).
• Fredholm Uyarısı: Burada \( \lambda = 0 \) özdeğeri değildir. Ancak, sağ taraf \( f(x) = \sin(x) \) homojen problemdeki özfonksiyona eşit. Bu özel durumda, sağ taraf homojen denklemin bir çözümü ile orantılı olduğu için çözüm yoktur (veya çözüm yoktur, detaylara göre).
• Doğrudan Çözüm: \( y'' + y = \sin(x) \). Homojen çözüm \( y_h = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) \). Özel çözüm \( y_p \) için sağ taraf \( \sin(x) \) homojen çözümde olduğu için, \( y_p = A x \cos(x) + B x \sin(x) \) formu denemeliyiz. Hesaplamalar \( y_p = -\frac{x}{2} \cos(x) \) sonucunu verir.
• Tam çözüm: \( y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) - \frac{x}{2} \cos(x) \). Sınır koşullarını uygulayalım: \( y(0) = c_1 = 0 \). \( y(\pi) = c_2 \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} \cos(\pi) = 0 - \frac{\pi}{2}(-1) = \frac{\pi}{2} \neq 0 \). Bu bir çelişkidir.
• Sonuç: Bu problem çözümü yoktur. Çünkü \( f(x) = \sin(x) \), \( L[y] = 0 \) denkleminin bir çözümüdür (özfonksiyonudur). Bu, Fredholm alternatifinin çözümün olmadığı durumudur.

Homojen olmayan sınır değer problemlerini çözmek için birkaç yöntem vardır. Bunlardan biri, ilgili homojen Sturm-Liouville probleminden elde edilen özfonksiyonların lineer kombinasyonu olarak çözümü ifade etmek olan Özfonksiyon Açılımı Metodu'dur.

Problem: \( L[y] = f(x) \) denklemini \( B_1[y] = 0, B_2[y] = 0 \) sınır koşullarıyla çöz.

Varsayım: \( L \) öz-eşlenik bir S-L operatörü olsun ve ilgili homojen S-L problemi \( L[\phi_n] = \lambda_n r(x) \phi_n \) sayılabilir sonsuz özdeğer \( \lambda_n \) ve ortonormal özfonksiyonlar \( \phi_n(x) \) ( \( \int_a^b \phi_n(x) \phi_m(x) r(x) dx = \delta_{nm} \) ) sistemine sahip olsun.

Çözüm Yaklaşımı:

1. \( f(x) \) ve \( y(x) \) fonksiyonlarını özfonksiyonlar cinsinden açın:
   y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \phi_n(x), \quad f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n \phi_n(x)
   Burada \( f_n = \int_a^b f(x) \phi_n(x) r(x) dx \).
2. Diferansiyel denklemde \( y(x) \) yerine seri açılımını koyun ve operatörü uygulayın:
   L\left[ \sum_{n=1}^{\infty} c_n \phi_n(x) \right] = \sum_{n=1}^{\infty} c_n L[\phi_n(x)] = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \lambda_n r(x) \phi_n(x)
3. Denklemin sağ tarafındaki \( f(x) \) açılımıyla eşitleyin:
   \sum_{n=1}^{\infty} c_n \lambda_n r(x) \phi_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n \phi_n(x)
4. Her iki tarafı \( \phi_m(x) r(x) \) ile çarpüp \( [a,b] \) aralığı üzerinde integre ederek (özfonksiyonların ortonormalitesini kullanarak) katsayıları bulun:
   c_n \lambda_n = f_n \Rightarrow c_n = \frac{f_n}{\lambda_n}
   ( \( \lambda_n \neq 0 \) varsayılır).
5. Çözüm:
   y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_n}{\lambda_n} \phi_n(x)

Alıştırma: \( y'' = -1 \) denklemini \( y(0) = 0 \), \( y(1) = 0 \) sınır koşullarıyla çözün. (Bu, daha önce Fredholm ile çözdüğümüz problem.) Özfonksiyon açılımı metodunu kullanın.

Çözüm:

• Homojen S-L Problemi: \( y'' + \lambda y = 0 \), \( y(0) = 0 \), \( y(1) = 0 \). Özdeğerler \( \lambda_n = (n\pi)^2 \), özfonksiyonlar \( \phi_n(x) = \sqrt{2} \sin(n\pi x) \). (Burada \( r(x) = 1 \), ortonormalleştirme sabiti \( \sqrt{2} \)).
• \( f(x) = -1 \) için katsayılar:
  f_n = \int_0^1 (-1) \sqrt{2} \sin(n\pi x) dx = -\sqrt{2} \left[ -\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi} \right]_0^1 = \frac{\sqrt{2}}{n\pi} [\cos(n\pi) - 1] = \frac{\sqrt{2}}{n\pi} [(-1)^n - 1]
  \( n \) çiftse \( f_n = 0 \). \( n \) tekse \( f_n = \frac{\sqrt{2}}{n\pi} [(-1) - 1] = \frac{-2\sqrt{2}}{n\pi} \).
• Katsayılar \( c_n \):
  c_n = \frac{f_n}{\lambda_n} = \frac{f_n}{(n\pi)^2}
  \( n \) çiftse \( c_n = 0 \). \( n \) tekse \( c_n = \frac{-2\sqrt{2}}{n\pi} \cdot \frac{1}{(n\pi)^2} = \frac{-2\sqrt{2}}{n^3\pi^3} \).
• Çözüm:
  y(x) = \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ tek}}}^{\infty} \frac{-2\sqrt{2}}{n^3\pi^3} \sqrt{2} \sin(n\pi x) = \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ tek}}}^{\infty} \frac{-4}{n^3\pi^3} \sin(n\pi x)
• Bu seri, önceki yöntemle bulduğumuz \( y(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} \) fonksiyonuna eşittir. Bu, yöntemin doğruluğunu gösterir.

Green Fonksiyonu, lineer diferansiyel operatörlerle tanımlanan sınır değer problemlerini çözmek için kullanılan güçlü bir yöntemdir. Temel fikir, bir noktada etkiyen (impulsif) bir kaynak (Dirac delta fonksiyonu) için problemin çözümünü bulmak ve ardından genel \( f(x) \) fonksiyonu için çözümü bu temel çözümlerin (Green fonksiyonlarının) integrali olarak ifade etmektir.

Problem: \( L[y] = f(x) \), \( x \in [a,b] \), belirli sınır koşulları.

Green Fonksiyonu Tanımı: \( G(x, s) \), \( x \)'e bağlı aşağıdaki problemi sağlayan fonksiyondur:

ve \( G(x,s) \) orijinal sınır koşullarını sağlar.

Çözüm: Green fonksiyonu bulunduğunda, homojen olmayan problem çözümü şu integral ile verilir:

Green Fonksiyonunun Yapısı:

• \( x \neq s \) için \( L[G(x,s)] = 0 \). Yani \( G(x,s) \), \( x \)'in \( s \)'den farklı olduğu bölgelerde homojen denklemin çözümüdür.
• \( x = s \) noktasında \( G(x,s) \) süreklidir: \( G(s^-, s) = G(s^+, s) \).
• \( x = s \) noktasında \( G(x,s) \)'nin birinci türevi sıçrama (jump) yapar:
  \left. \frac{dG}{dx} \right|_{s^-}^{s^+} = \frac{1}{p(s)}
  ( \( L[y] = -(py')' + qy \) formundaysa).
• \( G(x,s) \) sınır koşullarını sağlar.

Green Fonksiyonunun Bulunması:

1. Homojen denklemin iki lineer bağımsız çözümünü \( y_1(x) \) ve \( y_2(x) \) bulun ( \( L[y_1] = L[y_2] = 0 \) ).
2. \( G(x,s) \)'yi parçalı tanımlayın:
   • \( x < s \) için: \( G(x,s) = A(s) y_1(x) \)
   • \( x > s \) için: \( G(x,s) = B(s) y_2(x) \)
3. Süreklilik koşulu \( G(s^-, s) = G(s^+, s) \) ile bir denklem elde edin.
4. Sıçrama koşulu \( \left. \frac{dG}{dx} \right|_{s^-}^{s^+} = \frac{1}{p(s)} \) ile ikinci bir denklem elde edin.
5. Sınır koşullarını uygulayarak \( A(s) \) ve \( B(s) \) katsayılarını bulun.

Alıştırma: \( y'' = f(x) \) denklemini \( y(0) = 0 \), \( y(1) = 0 \) sınır koşullarıyla çözün. Green fonksiyonunu bulun.

Çözüm:

• Homojen Denklem: \( y'' = 0 \). Genel çözüm \( y = c_1 x + c_2 \). \( y_1(x) = x \) ( \( y(0)=0 \) koşulunu sağlar), \( y_2(x) = x-1 \) ( \( y(1)=0 \) koşulunu sağlar).
• Green Fonksiyonu:
  • \( 0 \le x < s \): \( G(x,s) = A(s) x \)
  • \( s < x \le 1 \): \( G(x,s) = B(s) (x-1) \)
• Süreklilik: \( A(s) s = B(s) (s-1) \Rightarrow A(s) s = B(s) (s-1) \) ... (1)
• Sıçrama: \( \frac{dG}{dx} = A(s) \) ( \( xs \) için). Sıçrama \( = B(s) - A(s) = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow B(s) = A(s) + 1 \) ... (2)
• Denklemleri çöz: (2)'yi (1)'de yerine koy: \( A(s) s = (A(s) + 1)(s-1) \)
  \( A(s) s = A(s)(s-1) + (s-1) \)
  \( A(s) s - A(s)(s-1) = s-1 \)
  \( A(s) [s - (s-1)] = s-1 \)
  \( A(s) = s-1 \)
  (2)'den: \( B(s) = (s-1) + 1 = s \)
• Green Fonksiyonu:
  G(x,s) = \begin{cases} (s-1)x, & 0 \le x < s \\ s(x-1), & s < x \le 1 \end{cases}
• Çözüm:
  y(x) = \int_0^1 G(x,s) f(s) ds = \int_0^x (s-1)x f(s) ds + \int_x^1 s(x-1) f(s) ds

Yorum

Green fonksiyonu, \( x \) noktasındaki çözümün, \( s \) boyunca dağılmış olan \( f(s) \) kaynaklarının \( x \) noktasında yarattığı etkilerin toplamı olarak düşünülmesini sağlar. Bu, fizikte alan teorilerinde çok kullanılan bir bakış açısıdır.